Enunciado

Sua empresa decidiu lançar uma versão de luxo da frigideira que você projetou. O plano é esmaltá-la de branco por dentro e de azul por fora. A camada de esmalte terá 0,5 m m de espessura antes de ir ao forno. (Veja o diagrama a seguir). O departamento de produção quer saber a quantidade de esmalte que precisará dispor para produzir 5000 frigideiras. O que você diria a eles? (Ignore o desperdício e a matéria-prima não utilizada; dê a sua resposta em litros. Lembre-se de que 1 c m 3 = 1   m l , logo 1 l = 1000 c m 3 .)

Passo 1

Para resolver essa questão precisamos calcular a área da superfície da frigideira. A imagem nos fornece a função que devemos utilizar e nos mostra o eixo de rotação que é o eixo y , assim como os limites de integração. Assim, por definição para calcular a área de uma superfície rotacionada sobre o eixo y por uma função, temos:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Isolando nossa função:

x 2 + y 2 = 16 2 ⇒ x = 16 2 - x 2

Observe que como queremos calcular a área, desconsideramos a parte negativa.

Logo:

S = ∫ - 16 - 7 2 π   16 2 - y 2   1 + y 16 2 - y 2 2 d y = 2 π ∫ - 16 - 7 16 2 - y 2   16 2 16 2 - y 2   d y

= 2 π ∫ - 16 - 7 16   d y = 32 π y - 7 - 16 = 32 π - 7 + 16 = 288 π ≈ 904,778   c m 2

Passo 2

A quantidade de esmalte necessária para cobrir um lado da frigideira é dado por:

V = S × 0,05   c m = 904,78 × 0,05 c m 3 = 45,24   c m 3

Para 5000 frigideiras, temos:

5000 × V = 5000 × 45,24   c m 3 = 5 45,24 l = 226,2   l

Resposta

É necessário fazer um pedido de 226,2   l de cada cor .

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Calcule o comprimento do gráfico da função dada. f x = x , 1 4 ≤ x ≤ 3 4
Para x y = 1 ,1 ≤ y ≤ 2 ; eixo y :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça
Para y = x 2 ,0 ≤ x ≤ 2 ; eixo x :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça
Para y = t gx ,0 ≤ x ≤ π 4 ; eixo x :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, fa
Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada.d) f x = x , 1 ≤ x ≤ 4