Enunciado

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

x =   y   ; x = - y ; y = 2

Passo 1

Temos a seguinte imagem gráfica:

Logo, podemos perceber que a variação no eixo y é 0 < y ≤ 2

Queremos usar o método da casca, porém a rotação agora é em torno do eixo x, logo, devemos usar a seguinte fórmula:

V =   ∫ a b 2 π y   f y d y

Em que f y =   y - ( - y )

Substituindo da fórmula acima, temos:

V =   ∫ 0 2 2 π y   y - - y d y

= 2 π ∫ 0 2 ( y 3 2 + y 2 )   d y = 2 π 2 y 5 2 5 + y 3 3 2 0

= 2 π 2 5 2 5 + 2 3 3 = 2 π 8 2 5 + 8 3

= 16 π   2 5 + 1 3

= 16 π 15   3 2 + 5

Resposta

16 π 15   3 2 + 5

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exemplo 2 em torno da reta x = 1 .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 27 em torno da reta x = 1 .
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Nos exercícios de 21 a 24, a região é limitada pelas curvas x = y 2 - 2ex = 6 - y 2 gira em torno do eixo indicado. Ache o volume do sólido gerado.24.a reta y = 2
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 3 x - x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 1 .