Enunciado

(a) Use o método de Euler com o passo 0,2 para estimar y ( 0,4 ) , onde y(x) é a solução do problema de valor inicial y ' = x + y ² , y 0 = 0 .

(b) Repita a parte (a) com passo 0,1.

Passo 1

O método de Euler nos da o valor aproximado para a solução da equação diferencial do problema com condição inicial.

O passo nos diz de que forma os valores ao longo dos eixos x estarão espaçados, por exemplo: x 0 ,   x 1 = x 0 + h ,   x 2 = x 1 + h …

Desta forma y fica: y 1 = y 0 + h F x 0 , y 0 ,   y 2 = y 1 + h F x 1 , y 1 ,   …

Passo 2

a) Sabemos que as condições iniciais são x 0 = 0 e y 0 = 0 , sabemos também que o passo é h = 0,2 e y ' = F x , y = x + y ² . Então para y   ( 0,4 ) a solução é:

x 0 = 0 ,   x 1 = 0,2   e     x 2 = 0 , 4

y 1 = y 0 + h F x 0 , y 0 = 0 + 0,2 F 0,0 = 0

y 2 = y 1 + h F x 1 , y 1 = 0 + 0,2 0.2,0 = 0,04

Como queremos o valor de y quando x = 0,4 , no nosso caso é x 2 , então queremos encontrar o seu par y 2 = 0,04

Passo 3

b) Agora as condições iniciais se mantem as mesmas x 0 = 0 e y 0 = 0 , mas o passo é h = 0 , 1 e y ' = F x , y = x + y ² . Então para y   ( 0,4 ) a solução é:

x 0 = 0 ,     x 1 = 0 , 1 ,     x 2 = 0 , 2 ,     x 3 = 0 , 3   e     x 4 = 0 , 4

y 1 = y 0 + h F x 0 , y 0 = 0 + 0 , 1   F 0,0 = 0

y 2 = y 1 + h F x 1 , y 1 = 0 + 0 , 1   F 0 . 1 , 0 = 0,0 1

y 3 = y 2 + h F x 2 , y 2 = 0,01 + 0,1   F 0 . 2 ,   0.01 = 0,0 3001

y 4 = y 3 + h F x 3 , y 3 = 0,03001 + 0,1   F 0.3 ,   0.3001 = 0,0 6010

Como queremos o valor de y quando x = 0,4 , no nosso caso é x 4 , então queremos encontrar o seu par y 4 = 0,0 6010

Resposta

a) y 2 = 0,04

b) y 4 = 0,06010

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