Enunciado

Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.

68. ∫ - 1 1 x ³ d x

Passo 1

Então pessoal, para estimarmos o valor dessa integral definida como um limite de uma soma de Riemann, precisamos, assim como discutido na seção 3 do George, definir partições P que subdividem o intervalo [ a ,   b ] em n subintervalos de largura igual a:

∆ x = b - a n

∆ x = 1 - ( - 1 ) n = 2 n

Se fizermos as partições, teremos:

P = - 1 ,   - 1 + 2 n ,   - 1 + 2 . 2 n ,   …   ,   - 1 + n . 2 n

Sendo assim, temos:

c k = - 1 + 2 k n

Passo 2

Agora que já descobrimos as partições e o valor de c k , basta substituirmos na soma de Riemann, que é a seguinte:

S n = ∑ k = 1 n f c k . ∆ x

Substituindo os valores encontrados, teremos:

S n = ∑ k = 1 n - 1 + 2 k n ³ . 2 n

S n = 2 n ∑ k = 1 n - 1 + 6 k n - 12 k 2 n 2 + 8 k 3 n 3

Como há uma soma no argumento da somatória e lembrando que a somatória está em função de k , podemos fazer:

S n = 2 n - ∑ k = 1 n 1 + 6 n ∑ k = 1 n k - 12 n 2 ∑ k = 1 n k 2 + 8 n 3 ∑ k = 1 n k 3

A somatória dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . ( n + 1 ) 2

Além disso, a somatória dos quadrados dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . n + 1 . ( 2 n + 1 ) 6

E, por fim, a somatória dos cubos dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . n + 2 2

Substituindo esses valores na somatória, teremos:

S n = 2 n - n + 6 n . n . n + 1 2 - 12 n 2 . n . n + 1 . 2 n + 1 6 + 8 n 3 . n . n + 2 2

S n = - 2 n . n + 12 n 2 . n . n + 1 2 - 24 n 2 . n . n + 1 . 2 n + 1 6 + 16 n 4 . n . n + 2 2

S n = - 2 + 6 . n + 1 n - 4 . n + 1 . 2 n + 1 n 2 + 4 . ( n + 1 ) ² n ²

Passo 3

Agora que determinamos o valor da somatória, temos que à medida que n → ∞ e P → 0 , a expressão da somatória tem o seguinte limite:

S n = - 2 + 6 - 8 + 4 = 0

∴ ∫ - 1 1 x ³ d x = 0

Resposta

∫ - 1 1 x ³ d x = 0

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