Responde Aí

Enunciado

24. Use o método do exercício 23 para resolver a equação diferencial x y ' + y = - x y 2 .

Passo 1

Nesse caso temos que n = 2 , então devemos fazer a substituição u = y 1 - 2 = y - 1 . E então a equação passa a ter a seguinte forma x u ' + 1 - 2 u = 1 - 2 - x , ou seja, x u ' - u = x .

Passo 2

Dividindo tudo por x temos u ' - 1 x u = 1 , ou seja, a EDO é linear com P x = - 1 x e Q x = 1 .

Passo 3

O fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja, I x = e ∫ - 1 x d x = e - ln ⁡ x = x - 1 .

Passo 4

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução u ( x ) é dada por por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = x - 1 e Q x = 1 .

Passo 5

Então precisamos calcular ∫ 1 x d x = ln ⁡ x . E então temos u x = 1 x - 1 ln ⁡ x + C = x ln ⁡ x + C x .

Passo 6

Observe que u = y - 1 , então, y x = 1 x ln ⁡ x + C x .

Resposta

y x = 1 x ln ⁡ x + C x

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