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27. No circuito apresentado na figura 4, uma pilha fornece uma voltagem constante de 40 V , a indultancia é de 2 H e a resistência é de 10   Ω e I 0 = 0 .

a) Encontre I ( t ) .

b) Calcule a corrente após 0,1   s .

Passo 1

a) Vamos usar uma das leis de Kirchhoff que é L d I d t + R I = E ( t ) onde L é a indultancia, R é a resistência, I é a corrente e E ( t ) é a voltagem. Nesse caso, temos L = 2 , R = 10 e E t = 40 . Então a EDO é 2 d I d t + 10 I = 40 .

Passo 2

Dividindo tudo por 2 e chamando d I d t = I ' para facilitar os cálculos, temos I ' + 5 I = 20 . Então a EDO é linear com P x = 5 e Q x = 20 .

Passo 3

O fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja, I x = e ∫ 5 d x = e 5 x = .

Passo 4

Passo 5

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução u ( x ) é dada por por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = e 5 x e Q x = 20 .

Passo 6

Passo 7

Então precisamos calcular ∫ e 5 x ⋅ 20 d x = 2 0 ∫ e 5 x d x . Fazendo u = 5 x , temos que d u = 5 d x , ou seja, d x = d u 5 . E então temos 20 ∫ e 5 x d x = 20 ∫ e u d u 5 = 4 ∫ e u d u = 4 e u = 5 e 5 x . Então a corrente é I t = 1 e 5 x 4 e 5 x + C = e - 5 x 4 e 2 x + C = 4 + C e - 5 x .

Passo 8

Passo 9

Sabemos que I 0 = 0 , então 4 + C e - 5 ⋅ 0 = 0 , isto é, 4 + C = 0 , pois e 0 = 1 . E então I t = 4 - 4 e - 5 x .

Passo 10

Passo 11

b) I 0,1 = 4 - 4 e - 5 ⋅ 0,1 = 4 ( 1 - e - 0,5 )

Resposta

  1. I t = 4 - 4 e - 5 x
  2. 4 ( 1 - e - 0,5 ) .

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