Enunciado

Use o método de Newton com a aproximação inicial x 1 = 1 para achar x 2 , a segunda aproximação da raiz da equação x 4 - x - 1 = 0 . Faça o gráfico da função e da reta tangente no ponto 1 , - 1 . Usando este gráfico explique como o método funciona neste caso.

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 4 - x - 1 ' = 4 x 4 - 1 - x 1 - 1 - 0 = 4 x 3 - 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 4 - x n - 1 4 x n 3 - 1

Como queremos x 2 vamos usar n = 1 , e já que já temos que x 1 = 1 não nos falta nada para substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 4 - x 1 - 1 4 x 1 3 - 1 = 1 - 1 4 - 1 - 1 4 . 1 3 - 1 = 1 - - 1 3 = 4 3

Passo 4

Vamos achar a reta tangente para poder traçar ela, temos dois pontos 1 , - 1 e 4 3 , 0 , vamos então jogar os dois pontos na fórmula da reta para achar a inclinação:

y - y 0 = m x - x 0 → 0 - - 1 = m 4 3 - 1 → 1 = m 1 3 → m = 3

Pronto, já temos a equação da reta:

y - - 1 = 3 x - 1 → y = - 1 + 3 x - 1 = - 1 + 3 x - 3 = - 4 + 3 x

Passo 5

Vamos agora ver o gráfico:

O gráfico mostra a geometria atrás do método de Newton, como f ' 1 = 3 , a reta tangente y = x 4 - x - 1 em 1 , - 1 tem equação igual a y = - 4 + 3 x , e o zero dessa reta está na aproximação x 2 = 4 3 .

Resposta

x 2 = 4 3

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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