Encontre o valor exato do limite.

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 8 x + 6 - 3 x 2 + 3 x + 1

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui precisamos calcular o limite.

Passo 2

Para calcular esse limite, não podemos somente substituir os valores, infinito não é um valor então não ajuda muito apenas substituir.

Necessitamos trabalhar algebricamente esta equação.

Para isso, seja f x = 3 x 2 + 8 x + 6 - 3 x 2 + 3 x + 1 .

Multiplicaremos toda a equação por seu conjudado, tal que o conjugado vale 1, então

Então, ficamos com

f x = 3 x 2 + 8 x + 6 - 3 x 2 + 3 x + 1 ⋅ 3 x 2 + 8 x + 6 + 3 x 2 + 3 x + 1 3 x 2 + 8 x + 6 + 3 x 2 + 3 x + 1

f x = 3 x 2 + 8 x + 6 - ( 3 x 2 + 3 x + 1 ) 3 x 2 + 8 x + 6 + 3 x 2 + 3 x + 1 = 5 x + 5 3 x 2 + 8 x + 6 + 3 x 2 + 3 x + 1

Agora, dividiremos em cima e em baixo pelo denominador de maior potência, no caso, x .

Daí, temos

f x = 5 x + 5 ⋅ 1 x ( 3 x 2 + 8 x + 6 + 3 x 2 + 3 x + 1 ) ⋅ 1 x

= 5 + 5 x 3 + 8 x + 6 x 2 + 3 + 3 x + 1 x 2

Passo 3

Agora, aplicaremos o limite na f ( x ) que encontramos, porém precisamos lembrar de duas coisas, a primeira é que lim x → ∞ ⁡ k x = 0 e a segunda é que lim x → ∞ ⁡ k x 2 = 0 , onde k é uma constante qualquer, então,

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 8 x + 6 - 3 x 2 + 3 x + 1

= lim x → ∞ ⁡ 5 + 5 x 3 + 8 x + 6 x 2 + 3 + 3 x + 1 x 2

= 5 + 0 3 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0

= 5 3 + 3 = 5 2 3 = 5 3 6 ≈ 1,4434

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 8 x + 6 - 3 x 2 + 3 x + 1 ≈ 1,4434

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