Enunciado

Encontre o valor exato do limite.

underset(x -> oo)(lim) sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) - sqrt(3 x^2 + 3 x + 1)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui precisamos calcular o limite.

Passo 2

Para calcular esse limite, não podemos somente substituir os valores, infinito não é um valor então não ajuda muito apenas substituir.

Necessitamos trabalhar algebricamente esta equação.

Para isso, seja f (x) = sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) - sqrt(3 x^2 + 3 x + 1) .

Multiplicaremos toda a equação por seu conjudado, tal que o conjugado vale 1, então

Então, ficamos com

f (x) = sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) - sqrt(3 x^2 + 3 x + 1) * [(sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) + sqrt(3 x^2 + 3 x + 1))/(sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) + sqrt(3 x^2 + 3 x + 1))]

f (x) = ((3 x^2 + 8 x + 6) - ( 3 x^2 + 3 x + 1 ))/(sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) + sqrt(3 x^2 + 3 x + 1)) = (5 x + 5)/(sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) + sqrt(3 x^2 + 3 x + 1))

Agora, dividiremos em cima e em baixo pelo denominador de maior potência, no caso, x .

Daí, temos

f (x) = ((5 x + 5) * ((1)/(x)))/(( sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) + sqrt(3 x^2 + 3 x + 1 ) * ((1)/(x))))

= (5 + (5)/(x))/(sqrt(3 + (8)/(x) + (6)/(x^2)) + sqrt(3 + (3)/(x) + (1)/(x^2)))

Passo 3

Agora, aplicaremos o limite na f ( x ) que encontramos, porém precisamos lembrar de duas coisas, a primeira é que underset(x -> oo)(lim) (k)/(x) = 0 e a segunda é que underset(x -> oo)(lim) (k)/(x^2) = 0 , onde k é uma constante qualquer, então,

underset(x -> oo)(lim) sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) - sqrt(3 x^2 + 3 x + 1)

= underset(x -> oo)(lim) (5 + ((5)/(x)))/(sqrt(3 + ((8)/(x)) + ((6)/(x^2))) + sqrt(3 + ((3)/(x)) + ((1)/(x^2))))

= (5 + 0)/(sqrt(3 + 0 + 0) + sqrt(3 + 0 + 0))

= (5)/(sqrt(3) + sqrt(3)) = (5)/(2 sqrt(3)) = (5 sqrt(3))/(6) tildetilde 1,4434

Resposta

underset(x -> oo)(lim) sqrt(3 x^2 + 8 x + 6) - sqrt(3 x^2 + 3 x + 1) tildetilde 1,4434

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