Enunciado

Use o Método de Newton para aproximar as coordenadas do ponto sobre a parábola y = x 2   mais próximo do ponto ( 1,0 ) .

Passo 1

Fala aí! Tudo joia?

Esse aqui tá diferente dos outros porque envolve outro conceito: distância entre pontos.

A distância de um ponto x ,   x 2   da parábola y = x 2 ao ponto ( 1,0 ) é o seguinte:

x - 1 2 + x 2 - 0 2

Como a gente quer o ponto mais próximo, a gente quer o mínimo dessa função.

Pra facilitar a gente pode fazer o mínimo de f x = x - 1 2 + x 4 . Bora lá então...

Passo 2

Pra achar o mínimo a gente tem que derivar a função:

f ' x = 4 x 3 + 2 x - 2

A gente precisa de um ponto em que isso seja:

4 x 3 + 2 x - 2 = 0

Agora é que entra o método de Newton. A gente vai fazer x 1 = 1 .

Passo 3

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - g x n g ' x n

Onde a nossa g x = 4 x 3 + 2 x - 2 e g ' x = 12 x 2 + 2 .

Jogando na fórmula então:

x 2 = 0,71

x 3 = 0,60

x 4 = 0,59

Tá tendo pouca variação, então vamos parar por aqui. Esse é um ponto onde zera.

Passo 4

Vamos verificar se é ponto de mínimo pelo teste da derivada segunda:

g ' ' 0,59 = 12 0,59 + 2 = 9,08 > 0

Ou seja, é ponto de mínimo!

Só falta achar a coordenada y dele.

O ponto está sobre a parábola y = x 2 , então é só a gente fazer:

y = 0,59 2 = 0,35

O ponto pedido então é: ( 0,59 ,   0,35 ) . 😸

Resposta

( 0,59 ,   0,35 )

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