Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) em x = x 0 , se:

f x = ln ⁡ - x

x 0 = - e

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Agora, vamos falar da cereja no bolo. O exercício pede a equação da reta, certo? Existe uma fórmula para isso, e pode ser dada por:

y - y o = m ( x - x 0 )

Entendendo o conceito derivada: por definição derivada é a inclinação da reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto P ( a , f a ) que é definida como a reta que passa em P e tem inclinação m , se:

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Então, falar que queremos a inclinação da reta, é a mesma coisa que dizer que queremos a derivada da função f em a .

Lembrando que o exercício nos fornece a função   f ( x ) e x 0 , então, por consequência nós temos a coordenada de pontos ( x 0 , y 0 ) .

Além disso, como nós já temos a função, podemos fazer a derivação e encontrar m (que é a inclinação da reta). Bora calcular ?

Passo 2

Tendo a função f x = l n ⁡ ( - x ) no ponto   x 0 = - e , podemos calcular a função no ponto dado:

f x = ln ⁡ - x

f e - 1 = ln ⁡ - ( - e ) = 1

Então, a nossa coordenada é ( - e , - 1 ).

A próxima coisa que faremos é calcular a derivada da função:

f x = ln ⁡ - x

d ln ⁡ - x d - x . d ( - x ) d x = - 1 x . - 1 = 1 x

Logo:

m = 1 x

Substituindo o valor de x :

m = 1 - e

Com essas informações nós conseguimos encontrar a equação da reta.

Passo 3

Nós temos os termos x 0 , y o = - e ,     1 ;   m = - 1 e   podemos aplicar na fórmula:

y - y o = m ( x - x 0 )

y - 1 = - 1 e ( x - ( - e ) )

y - 1 = - x e - 1

y = - x e

Resposta

y = - x e

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