Enunciado

  1. Encontre a equação de uma reta pela origem que seja tangente ao gráfico de y = ln ⁡ x .
  2. Explique por que o ponto do corte no eixo y da reta tangente à curva y = l n ⁡ ( x ) deve ter uma unidade a menos do que a coordenada y do ponto de tangência.

Passo 1

  1. O exercício nos pede para calcular a equação da reta, e nos fornece a função   f x . Podemos fazer a derivação e encontrar m (que é a inclinação da reta). E com todos esse termos, nós conseguimos aplicar na equação da reta:
  2. y - y o = m ( x - x 0 )

    Tendo a função :

    y = ln ⁡ x

    Calculando a derivada:

    y ' = 1 x = m

    Aplicando o valor da tangente na fórmula:

    y - y o = m ( x - x 0 )

    y - y o = 1 x ( x - x 0 )

    Temos que lembrar que o exercício pede a equação de uma reta que passa pela origem e que seja tangente ao gráfico é quando:

    y = y ' . x

    y = 1 x 0 . x

    Agora, aplicando na fórmula:

    1 x 0 . x - y o = 1 x ( x - x 0 )

    Simplificando os termos:

    y 0 = 1

    O valor de x 0   que passa pela origem é:

    y = ln ⁡ x

    1 = ln ⁡ x

    x 0 = e

    A equação da reta passa pelo ponto ( x 0 , y 0 ) = ( e ,   1 ) . Agora que já conhecemos a coordenada de pontos tangenciais que passa pela origem aplicamos na equação :

    y - y o = 1 x 0 ( x - x 0 )

    y - 1 = 1 x 0 ( x - e )

    y - 1 = 1 e ( x - e )

    y = x e

    Passo 2

  3. Explique por que o ponto do corte no eixo y da reta tangente à curva y = l n ⁡ ( x ) deve ter uma unidade a menos do que a coordenada y do ponto de tangência.

A equação da reta tangente a curva foi dada por:

y = x x 0 + b + … ( 1 )

A equação tangente ao ponto ( x 0 , y 0 ) é :

y - y o = x x 0 - 1

y = y o + x x 0 - 1 + … ( 2 )

Igualando as duas equações (1) e (2):

y o + x x 0 - 1   = x x 0 + b

Simplificando:

y o - 1   = b

y o   = b + 1

Assim, o y que intercepta a reta tangente a curva da nossa função deve ser menor do que y da coordenada no ponto de tangência.

Resposta

a       y = x e

                                  b     y o   = b + 1

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31 – 32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.31. f x = ln ⁡ ln ⁡ x , e ,0
Obtenha a regra do produto para ( u v ) ' derivando a fórmula ln ⁡ ( u v ) = ln ⁡ u + ln ⁡ v .
Mostrar que a função y = x e - x satisfaz a equação x y ' = 1 - x y .
Mostrar que a função y = 1 1 + x + ln ⁡ x satisfaz a equação x y ' = y y l n x - 1 .
Mostrar que a função y = x e - x 2 2 satisfaz a equação x y ' = 1 - x 2 y .