Enunciado

Use o Método de Newton para aproximar as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito sob a curva y = cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 2 , conforme a Figura Ex-32.

Passo 1

Fala aí! Tudo joia?

Bom, a área de um retângulo é A = x y , onde x   e   y são as dimensões dele. Até aí nada de novidade.

A questão aqui é relacionar essa área com a função. Repare o seguinte: y = cos ⁡ x . Ou seja, nossa área pode ser calculada fazendo:

A = x cos ⁡ x

É essa função que a gente quer maximizar. Então bora!

Passo 2

A gente tem que derivar, pra começo de conversa:

d A = cos ⁡ x - x s e n   x

Beleza, pra saber onde isso zera a gente vai ter usar o método de Newton.

Vamos colocar x 1 = 1 e achar uma aproximação para:

g x = cos ⁡ x - x s e n   x

Passo 3

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - g x n g ' x n

x 2 = 1 - cos ⁡ 1 - 1   s e n   1 - 2 s e n   1 - 1 cos ⁡ 1 = 0,8645

x 3 = 0,86

Beleza, achamos esse valor aproximado onde a derivada zera.

Passo 4

Pra verificar que é máximo, é só jogar na derivada segunda da função:

f ' ' 0,86 =   - 2   s e n   0,86 - 0,86 cos ⁡ 0,86 =   - 2,07 < 0

Logo, é ponto de máximo.

E aí é só a gente ver a dimensão y agora:

y = cos ⁡ 0,86 = 0,65

Prontinho! Essas são as aproximações das dimensões do retângulo pedido😉

Resposta

x = 0,86

y = 0,65

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