Enunciado

(b) Use o método de Newton para aproximar a raiz correta para seis casas decimais.

13 .     3 x 4 - 8 x 3 + 2 = 0     [ 2 ,   3 ]

Passo 1

Para fazer o que o enunciado pede, vamos ter que usar a seguinte fórmula do método de Newton.

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Mas se você reparar precisaremos de um x n inicial um x 0 no caso e como o enunciado não fornece, temos que escolher um, vamos escolher quem sabe x 0 = 2,5 e testar com ele, se a série divergi, temos que testar com outro.

Você pode estar se perguntando, quando devo parar de fazer conta? Bem quando encontrarmos dois valores consecutivos iguais até a sexta casa decimal, que é a precisão pedida no enunciado, está na hora de parar e assim o primeiro na sequência dos repetidos é a nossa raiz.

Passo 2

Antes de começar a fazer conta, temos que escrever nossa equação na forma de função, então:

f x =   3 x 4 - 8 x 3 + 2

E agora derivar essa função para usar na fórmula mostrada em 1 .

f ' x = 3 4 x 3 - 8 3 x 2 + 2

= 12 x 3 - 24 x 2

Agora partimos para fórmula.

Passo 3

Vamos então usar a bendita fórmula.

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

⇒ x n + 1 = x n - 3 x n 4 - 8 x n 3 + 2 12 x n 3 - 24 x n 2

Então:

x 1 = 2,5 - 3 2,5 4 - 8 2,5 3 + 2 12 2,5 3 - 24 2,5 2

⇒ x 1 = 2,5 - - 5,8125 37,5

⇒ x 1 = 2,655

x 2 = 2 , 65 5 - 3 2 , 65 5 4 - 8 2 , 65 5 3 + 2 12 2 , 65 5 3 - 24 2 , 65 5 2

⇒ x 2 = 2 , 65 5 - 1,344969 55,405336

⇒ x 2 = 2,6 30725

x 3 = 2,630725 - 3 2,630725 4 - 8 2,630725 3 + 2 12 2,630725 3 - 24 2,630725 2

⇒ x 3 = 2,630725 - 0,036884 5 2,380808

⇒ x 3 = 2 , 630021

E lá vamos nós mais uma vez:

x 4 = 2,630021 - 3 2,630021 4 - 8 2,630021 3 + 2 12 2,630021 3 - 24 2,630021 2

⇒ x 4 = 2,630021 - 0,000038 52 , 294342

⇒ x 4 = 2 , 630020

E mais uma vez, espero que seja a última.

x 5 = 2,63002 0 - 3 2,63002 0 4 - 8 2,63002 0 3 + 2 12 2,63002 0 3 - 24 2,63002 0 2

⇒ x 5 = 2,63002 0 - - 0,0000 13 52,2942 19

⇒ x 5 = 2,630020

Como x 4 ≈ x 5 , logo nossa raiz é x 4 = 2,630020

Resposta

x 4 = 2,630020

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