Enunciado

21. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

cos ⁡ x = x

Passo 1

Nossa equação é a seguinte:

cos ⁡ x = x

Antes de começar vamos esboçar um gráfico.

Considere a seguinte função:

f x = cos ⁡ x - x

Pois resolver cos ⁡ x = x é a mesma coisa que resolver cos ⁡ x - x = 0 .

Passo 2

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Lá do Passo 1:

f x = cos ⁡ x - x

Derivando,

f ' x = - s e n x - 1 2 x  

Portanto,

x n = x n - 1 - cos ⁡ x n - 1 - x n - 1 - s e n x n - 1 - 1 2 x n - 1

Arrumando as coisas, temos:

x n = x n - 1 + cos ⁡ x n - 1 - x n - 1 s e n x n - 1 + 1 2 x n - 1

Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar os seguintes pontos:

x 1 = 0,7

Passo 3

Vamos usar que x 1 = 0 , 7 :

x n = x n - 1 + cos ⁡ x n - 1 - x n - 1 s e n x n - 1 + 1 2 x n - 1

Fazendo as contas:

x 2 ≈ 0 , 642167

Para achar x 3 o processo é análogo. Logo,

Para x 3 :

x 3 ≈ 0 , 641714

Para x 4 :

x 4 ≈ 0 , 641714

Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de seis casas decimais será 0 , 641714

Resposta

A raiz aproximada de seis casas decimais será 0 , 641714

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