Enunciado

Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.

A raiz positiva de 2 cos ⁡ x = x 4

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = 2 cos ⁡ x - x 4

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 2 cos ⁡ x - x 4 ' = - 2 sen ⁡ x - 4 x 4 - 1 = - 2 sen ⁡ x - 4 x 3

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 2 cos ⁡ x n - x n 4 - 2 sen ⁡ x n - 4 x n 3

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , como ele quer a raiz positiva, vamos usar x 1 = 1 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 2 cos ⁡ x 1 - x 1 4 - 2 sen ⁡ x 1 - 4 x 1 3 = 1 - 2 cos ⁡ 1 - 1 4 - 2 sen ⁡ 1 - 4.1 3 ≈ 1,014184

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 2 cos ⁡ x 2 - x 2 4 - 2 sen ⁡ x 2 - 4 x 2 3 = 1,014184 - 2 cos ⁡ 1,014184 - 1,014184 4 - 2 sen ⁡ 1,014184 - 4.1,014184 3 ≈ 1,013958

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 2 cos ⁡ x 3 - x 3 4 - 2 sen ⁡ x 3 - 4 x 3 3 = 1,013958 - 2 cos ⁡ 1,013958 - 1,013958 4 - 2 sen ⁡ 1,013958 - 4.1,013958 3 ≈ 1,013958

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,013958 .

Resposta

A raiz é 1,013958 .

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