Enunciado

Na figura, o comprimento da corda A B é 4 cm, e o comprimento do arco A B é 5 cm. Encontre o ângulo central θ , em radianos, correto até a quarta casa decimal. Dê então a resposta com precisão de um grau.

Passo 1

E aí, galerinha! 😊

Nesse problema temos uma figura cujo comprimento da corda A B é 4 cm, e o comprimento do arco A B é 5 cm. A partir daí temos que encontrar o ângulo central θ , em radianos, correto até a quarta casa decimal.

Parece complicado?

Primeiro vamos usar o raio do círculo como sendo r , e usando s = r θ nós temos que:

5 = r θ → r = 5 θ

Agora olhando a figura da pra ver que podemos usar a lei dos cossenos, vamos lá então:

4 2 = r 2 + r 2 - 2 . r . r . cos ⁡ θ → 16 = 2 r 2 1 - cos ⁡ θ

Podemos substituir o valor de r = 5 θ na expressão que acabamos de achar:

16 = 2 r 2 1 - cos ⁡ θ = 2 5 θ 2 1 - cos ⁡ θ = 50 θ 2 1 - cos ⁡ θ

16 θ 2 = 50 1 - cos ⁡ θ

Temos então f θ = 16 θ 2 + 50 cos ⁡ θ - 50 , vamos aplicar o método de Newton então.

Veja só! 😉

Passo 2

Para aplicar o método de Newton, vamos usar sua fórmula:

θ n + 1 = θ n - f θ n f ' θ n

Vamos calcular f ' θ :

f ' θ = 16 θ 2 + 50 cos ⁡ θ - 50 ' = 16 . 2 . θ 2 - 1 + 50 - sen ⁡ θ - 0

f ' θ = 32 θ - 50 sen ⁡ θ

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Vamos substituir na fórmula de Newton:

θ n + 1 = θ n - f θ n f ' θ n

θ n + 1 = θ n - 16 θ n 2 + 50 cos ⁡ θ n - 50 32 θ n - 50 sen ⁡ θ n

Vamos agora analisar qual valor usar para θ 1 , pelo gráfico abaixo, vamos usar θ 1 = 2,2 , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:

θ 1 + 1 = θ 2 = θ 1 - 16 θ 1 2 + 50 cos ⁡ θ 1 - 50 32 θ 1 - 50 sen ⁡ θ 1 ≈ 2,2662

Como queremos uma precisão de quatro casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de θ deixar de variar, vamos lá:

θ 2 + 1 = θ 3 = θ 2 - 16 θ 2 2 + 50 cos ⁡ θ 2 - 50 32 θ 2 - 50 sen ⁡ θ 2 ≈ 2,2622

Mais uma vez, agora com θ 4 :

θ 3 + 1 = θ 4 = θ 3 - 16 θ 3 2 + 50 cos ⁡ θ 3 - 50 32 θ 3 - 50 sen ⁡ θ 3 ≈ 2,2622

Pronto, o valor não varia mais, então paramos a interpolação.

Então o ângulo é 2,2622 rad ≈ 130 ° .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

O ângulo é ≈ 130 ° .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f x = sen ⁡ x . Calcule.a) f ' x b) f ' π 4
Seja g x = cosec ⁡ x . Calcule.a) g ' x b) g ' π 4
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = tg ⁡ x no ponto de abscissa 0 .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = s i n ( x ) no ponto de abscissa 0 .
Seja f x = cotg ⁡ x . Calcule.a) f ' x b) f ' π 4