Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = sen ⁡ sen ⁡ x     ,     π , 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a equação da reta tangente à curva:

y = sen ⁡ sen ⁡ x

No ponto π , 0 .

Para isso, precisamos saber que a equação da reta tangente é do formato:

y - y ₀ = m x - x ₀

O valor m é a inclinação da reta, e é achado calculando a primeira derivada da função e aplicando o valor do ponto pedido.

E x 0 , y 0 é o ponto inicial (dado no enunciado).

Vamos então fazer isso aos poucos, certinho? 😉

Passo 2

Vamos agora derivar, usando a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

F ' x = f ' g x . g ' x

Também vamos aplicar a regra da função trigonométrica:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Assim, aplicando essas regrinhas, temos:

y ' = sen ⁡ sen ⁡ x ' ∴

y ' = cos ⁡ sen ⁡ x . sen ⁡ x ' ∴

y ' = cos ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x

Passo 3

Vamos agora aplicar no ponto π , 0 para encontrar m :

f ' π = cos ⁡ sen ⁡ π cos ⁡ π ∴

f ' π = cos ⁡ 0 - 1 ∴

f ' π = 1 . - 1 ∴

f ' π = - 1 = m

Passo 4

Agora é só substituir na fórmula da equação da reta, utilizando o ponto dado:

y - 0 = - 1 x - π ∴

y = - x + π

Então chegamos em:

f x = - x + π

Prontinho!

Resposta

f x = - x + π

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