Enunciado

  1. Use o método de Newton para encontrar os números críticos da função f x = x 6 - x 4 + 3 x 3 - 2 x com precisão de três casas decimais.
  2. Encontre o valor mínimo absoluto de f com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

  1. Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula, entretanto já que queremos achar os números críticos de f devemos achar os zeros de f ' , então a fórmula fica :
  2. x n + 1 = x n - f ' x n f ' ' x n

    Primeiro temos que f x = x 6 - x 4 + 3 x 3 - 2 x

    Vamos agora precisar de f ' x e f ' ' x , vamos calcular então!!

    Passo 2

    Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

    c ' = 0

    x n ' = n x n - 1

    Vamos calcular f ' x e f ' ' x :

    f ' x = x 6 - x 4 + 3 x 3 - 2 x ' = 6 x 6 - 1 - 4 x 4 - 1 + 3.3 . x 3 - 1 - 2 x 1 - 1 = 6 x 5 - 4 x 3 + 9 x 2 - 2

    f ' ' x = 6 x 5 - 4 x 3 + 9 x 2 - 2 ' ' = 6.5 . x 5 - 1 - 4.3 . x 3 - 1 + 9.2 . x 2 - 1 - 0 = 30 x 4 - 12 x 2 + 18 x

    Passo 3

    Pronto, agora que temos f ' x e f ' ' x é só jogar na fórmula de Newton:

    x n + 1 = x n - f ' x n f ' ' x n → x n + 1 = x n - 6 x n 5 - 4 x n 3 + 9 x n 2 - 2 30 x n 4 - 12 x n 2 + 18 x n

    Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo de f ' , parace ter pontos de intersecção em x = - 1,3 , x = - 0,4 e x = 0,5 , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:

    Primeiro para x 1 = - 1,3 :

    x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 6 x 1 5 - 4 x 1 3 + 9 x 1 2 - 2 30 x 1 4 - 12 x 1 2 + 18 x 1 ≈ - 1293344

    Como queremos uma precisão de três casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

    x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 6 x 2 5 - 4 x 2 3 + 9 x 2 2 - 2 30 x 2 4 - 12 x 2 2 + 18 x 2 ≈ - 1,293227

    Mais uma vez, agora com x 4 :

    x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 6 x 3 5 - 4 x 3 3 + 9 x 3 2 - 2 30 x 3 4 - 12 x 3 2 + 18 x 3 ≈ - 1,293227

    Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 1,293227 .

    Passo 4

    Agora com x 1 = - 0,4 , vamos lá:

    x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 6 x 1 5 - 4 x 1 3 + 9 x 1 2 - 2 30 x 1 4 - 12 x 1 2 + 18 x 1 ≈ - 0,443755

    Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

    x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 6 x 2 5 - 4 x 2 3 + 9 x 2 2 - 2 30 x 2 4 - 12 x 2 2 + 18 x 2 ≈ - 0,441735

    Mais uma vez, agora com x 4 :

    x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 6 x 3 5 - 4 x 3 3 + 9 x 3 2 - 2 30 x 3 4 - 12 x 3 2 + 18 x 3 ≈ - 0,441731

    Ainda está variando, vamos agora com x 5 :

    x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 6 x 4 5 - 4 x 4 3 + 9 x 4 2 - 2 30 x 4 4 - 12 x 4 2 + 18 x 4 ≈ - 0,441731

    Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é ≈ - 0,441731 .

    Passo 5

    Agora com x 1 = 0,5 , sei que é cansativo mas vamos lá:

    x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 6 x 1 5 - 4 x 1 3 + 9 x 1 2 - 2 30 x 1 4 - 12 x 1 2 + 18 x 1 ≈ 0,507937

    Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

    x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 6 x 2 5 - 4 x 2 3 + 9 x 2 2 - 2 30 x 2 4 - 12 x 2 2 + 18 x 2 ≈ 0,507854

    Mais uma vez, agora com x 4 :

    x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 6 x 3 5 - 4 x 3 3 + 9 x 3 2 - 2 30 x 3 4 - 12 x 3 2 + 18 x 3 ≈ 0,507854

    Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,507854 .

    Passo 5

  3. Temos dois pontos críticos quando f ' muda de negativo para positivo, - 1,293227 e 0,507854 , então f muda de decrescente para crescente, vamos então achar os f desses dois valores e ver qual o menor:

f - 1,293227   ≈ - 2,0212

f 0,507854 ≈ - 0,6721

Então, - 2,0212 é o valor mínimo absoluto.

Resposta

(a)As raizes da equação são - 1,293227 , - 0,441731 e 0,507854 .

(b)   - 2,0212 é o valor mínimo absoluto

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da
Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da
Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da
Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da
Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da