Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 35
- Use o método de Newton para encontrar os números críticos da função com precisão de três casas decimais.
- Encontre o valor mínimo absoluto de com precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
- Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula, entretanto já que queremos achar os números críticos de devemos achar os zeros de , então a fórmula fica :
- Temos dois pontos críticos quando muda de negativo para positivo, e , então muda de decrescente para crescente, vamos então achar os desses dois valores e ver qual o menor:
Primeiro temos que
Vamos agora precisar de e , vamos calcular então!!
Passo 2
Para achar a derivada de vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:
Vamos calcular e :
Passo 3
Pronto, agora que temos e é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , pelo gráfico abaixo de , parace ter pontos de intersecção em , e , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:
Primeiro para :
Como queremos uma precisão de três casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 4
Agora com , vamos lá:
Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Ainda está variando, vamos agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 5
Agora com , sei que é cansativo mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 5
Então, é o valor mínimo absoluto.
Resposta
(a)As raizes da equação são , e .
(b) é o valor mínimo absoluto