Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.

3 sen ⁡ x 2 = 2 x

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = 3 sen ⁡ x 2 - 2 x

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, da cadeia, da função trigonométrica e do polinômio:

F ' x = f ' g x . g ' x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 3 sen ⁡ x 2 - 2 x ' = 3 cos ⁡ x 2 2 x 2 - 1 - 2 x 1 - 1 = 6 x cos ⁡ x 2 - 2

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 3 sen ⁡ x n 2 - 2 x n 6 x n cos ⁡ x n 2 - 2

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = 0,7 e x = 1,4 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Primeiro para x 1 = 1,4 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 3 sen ⁡ x 1 2 - 2 x 1 6 x 1 cos ⁡ x 1 2 - 2 ≈ 1,39530295

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 3 sen ⁡ x 2 2 - 2 x 2 6 x 2 cos ⁡ x 2 2 - 2 ≈ 1,39525078

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 3 sen ⁡ x 3 2 - 2 x 3 6 x 3 cos ⁡ x 3 2 - 2 ≈ 1,39525077

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 3 sen ⁡ x 4 2 - 2 x 4 6 x 4 cos ⁡ x 4 2 - 2 ≈ 1,39525077

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,39525077 .

Passo 4

Agora com x 1 = 0,7 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 3 sen ⁡ x 1 2 - 2 x 1 6 x 1 cos ⁡ x 1 2 - 2 ≈ 0,69303689

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 3 sen ⁡ x 2 2 - 2 x 2 6 x 2 cos ⁡ x 2 2 - 2 ≈ 0,69299996

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 3 sen ⁡ x 3 2 - 2 x 3 6 x 3 cos ⁡ x 3 2 - 2 ≈ 0,69299996

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,69299996 .

Resposta

As raizes da equação são 1,39525077 e 0,69299996 .

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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Faça o gráfico da função y = x 2 3 + x - 1 1 3 . Em seguida, use a primeira derivada da função para explicar o que você está vendo.