Enunciado

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = ln ⁡ x x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dado a função

f x = ln ⁡ x x

E nosso objetivo é encontrar os intervalos onde essa função é crescente e decrescente, os valores de máximo e mínimo e tambem os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Lembra como fazemos isso?

Para obter os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, temos que calcular f ' x e analizar os intervalos onde f ' x > 0 (crescente) e f ' x < 0 (decrescente).

Para determinar os valores de máximos e mínimos, fazemos f ' x = 0 e analisamos os resultados.

E por fim, para determinar as concavidades calculamos f ' ' x e fazemos f ' ' x > 0 (concavidade para cima), f ' ' x < 0 (concavidade para baixo) e f ' ' x = 0 (ponto de inflexão).

Bora lá!

Passo 2

  1. Primeiro vamos dar uma ajeitada nessa expressão:
  2. f x = ln ⁡ x x = ln ⁡ x x 1 2

    Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:

    f ' x = ln ⁡ x x 1 2 '

    Vamos usar as regras de derivação da função logarítmica, da divisão e do polinômio:

    ln ⁡ f x ' = f ' ( x ) f ( x )

    f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

    x n ' = n x n - 1

    Veja só!

    Passo 3

    Vamos agora aplicar:

    f ' x = ln ⁡ x x 1 2 '

    f ' x = ln ⁡ x ' . x 1 2 - ln ⁡ x . x 1 2 ' x 1 2 2

    f ' x = 1 x . x 1 2 - ln ⁡ x . 1 2 . x 1 2 - 1 x 2 2

    f ' x = 1 x 1 2 - ln ⁡ x . 1 2 . x - 1 2 x 2 2

    Simplificando...

    f ' x = 1 x - ln ⁡ x 2 x x

    f ' x = 1 x - ln ⁡ x 2 x x . 2 x 2 x

    f ' x = 2 - ln ⁡ x 2 x 3 2 = 0

    Dessa forma, temos

    2 - ln ⁡ x = 0 → ln ⁡ x = 2 → x = e 2

    Tranquilo até aqui?

    Passo 4

  3. Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto. Vemos que em x = e 2 há mudança do sinal de f ' , e como em x = e 2 o sinal muda de positivo para negativo, então ele é um ponto de máximo local.
  4. Para achar os valores é só substituir os valores em f :

    f e 2 = ln ⁡ e 2 e 2 = 2 e

    Show?

    Passo 5

  5. Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal:

f ' ' x = 2 - ln ⁡ x 2 x 3 2 ' = 2 - ln ⁡ x ' . 2 x 3 2 - 2 - ln ⁡ x . 2 x 3 2 ' 2 x 3 2 2

f ' ' x = 0 - 1 x . 2 x 3 2 - 2 - ln ⁡ x . 2 . 3 2 x 3 2 - 1 4 x 3.2 2

Simplificando...

f ' ' x = - 2 x - 3 x 2 - ln ⁡ x 4 x 3

f ' ' x = x - 2 - 6 + 3 ln ⁡ x 4 x 3

f ' ' x = 3 ln ⁡ x - 8 4 x 5 2 = 0

Logo...

3 ln ⁡ x = 8 → x = e 8 3

Para garantir que x = e 8 3 é ponto de inflexão, devemos ver se f ( e 8 3 ) existe:

f e 8 3 = ln ⁡ e 8 3 e 8 3 = 0,70

Temos que o ponto de inflexão é e 8 3   ,   0,70 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. Decrescente em e 2 , ∞ e crescente em 0 , e 2
  2. f e 2 = 2 e é máximo local
  3. Concavidade para baixo em 0 , e 8 3 e para cima em e 8 3 , ∞ e ponto de inflexão é e 8 3   ,   0,70
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