Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 17
- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximo e mínimo local de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dado a função
E nosso objetivo é encontrar os intervalos onde essa função é crescente e decrescente, os valores de máximo e mínimo e tambem os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Lembra como fazemos isso?
Para obter os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, temos que calcular e analizar os intervalos onde (crescente) e (decrescente).
Para determinar os valores de máximos e mínimos, fazemos e analisamos os resultados.
E por fim, para determinar as concavidades calculamos e fazemos (concavidade para cima), (concavidade para baixo) e (ponto de inflexão).
Bora lá!
Passo 2
- Primeiro vamos dar uma ajeitada nessa expressão:
- Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de deve mudar nesse ponto. Vemos que em há mudança do sinal de , e como em o sinal muda de positivo para negativo, então ele é um ponto de máximo local.
- Para achar os intervalos de concavidade devemos achar e analisar os sinal:
Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
Vamos usar as regras de derivação da função logarítmica, da divisão e do polinômio:
Veja só!
Passo 3
Vamos agora aplicar:
Simplificando...
Dessa forma, temos
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Para achar os valores é só substituir os valores em :
Show?
Passo 5
Simplificando...
Logo...
Para garantir que é ponto de inflexão, devemos ver se existe:
Temos que o ponto de inflexão é .
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
- Decrescente em e crescente em
- é máximo local
- Concavidade para baixo em e para cima em e ponto de inflexão é