Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

x 4 = 1 + x

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = x 4 - x - 1

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 4 - x - 1 ' = 4 x 4 - 1 - x 1 - 1 - 0 = 4 x 3 - 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 4 - x n - 1 4 x n 3 - 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = - 0,7 e x = 1,2 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Primeiro para x 1 = - 0,7 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 4 - x 1 - 1 4 x 1 3 - 1 = - 0,7 - - 0,7 4 - - 0,7 - 1 4 . - 0,7 3 - 1 ≈ - 0,725253

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 4 - x 2 - 1 4 x 2 3 - 1 = - 0,725253 - - 0,725253 4 - - 0,725253 - 1 4 . - 0,725253 3 - 1 ≈ - 0,724493

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 4 - x 3 - 1 4 x 3 3 - 1 = - 0,724493 - - 0,724493 4 - - 0,724493 - 1 4 . - 0,724493 3 - 1 ≈ - 0,724492

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 4 - x 4 - 1 4 x 4 3 - 1 = - 0,724492 - - 0,724492 4 - - 0,724492 - 1 4 . - 0,724492 3 - 1 ≈ - 0,724492

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 0,724492 .

Passo 4

Agora com x 1 = 1,2 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 4 - x 1 - 1 4 x 1 3 - 1 = 1,2 - 1,2 4 - 1,2 - 1 4.1,2 3 - 1 ≈ 1,221380

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 4 - x 2 - 1 4 x 2 3 - 1 = 1,221380 - 1,221380 4 - 1,221380 - 1 4.1,221380 3 - 1 ≈ 1,220745

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 4 - x 3 - 1 4 x 3 3 - 1 = 1,220745 - 1,220745 4 - 1,220745 - 1 4.1,220745 3 - 1 ≈ 1,220744

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 4 - x 4 - 1 4 x 4 3 - 1 = 1,220744 - 1,220744 4 - 1,220744 - 1 4.1,220744 3 - 1 ≈ 1,220744

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,220744 .

Resposta

As raizes da equação são - 0,724492 e 1,220744 .

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