Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

1 x = 1 + x 3

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = 1 x - 1 - x 3

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 1 x - 1 - x 3 ' = x - 1 - 1 - x 3 ' = - 1 x - 1 - 1 - 0 - 3 x 3 - 1 = - 1 x - 2 - 3 x 2 = - 1 x 2 - 3 x 2

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 1 x n - 1 - x n 3 - 1 x n 2 - 3 x n 2

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = - 1,2 e x = 0,8 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Primeiro para x 1 = - 1,2 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 1 x 1 - 1 - x 1 3 - 1 x 1 2 - 3 x 1 2 = - 1,2 - 1 - 1,2 - 1 - - 1,2 3 - 1 - 1,2 2 - 3 . - 1,2 2 ≈ - 1,221006

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 1 x 2 - 1 - x 2 3 - 1 x 2 2 - 3 x 2 2 = - 1,221006 - 1 - 1,221006 - 1 - - 1,221006 3 - 1 - 1,221006 2 - 3 . - 1,221006 2 ≈ - 1,220744

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 1 x 3 - 1 - x 3 3 - 1 x 3 2 - 3 x 3 2 = - 1,220744 - 1 - 1,220744 - 1 - - 1,220744 3 - 1 - 1,220744 2 - 3 . - 1,220744 2 ≈ - 1,220744

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 1,220744 .

Passo 4

Agora com x 1 = 0,8 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 1 x 1 - 1 - x 1 3 - 1 x 1 2 - 3 x 1 2 = 0,8 - 1 0,8 - 1 - 0,8 3 - 1 0,8 2 - 3 . 0,8 2 ≈ 0,724767

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 1 x 2 - 1 - x 2 3 - 1 x 2 2 - 3 x 2 2 = 0,724767 - 1 0,724767 - 1 - 0,724767 3 - 1 0,724767 2 - 3 . 0,724767 2 ≈ 0,724492

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 1 x 3 - 1 - x 3 3 - 1 x 3 2 - 3 x 3 2 = 0,724492 - 1 0,724492 - 1 - 0,724492 3 - 1 0,724492 2 - 3 . 0,724492 2 ≈ 0,724492

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,724492 .

Resposta

As raizes da equação são - 1,220744 e 0,724492 .

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Derive a função: y = 4 π ² ²