Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as soluções da equação corrija até seis casas decimais.

19 .   2 x = 2 - x 2

Passo 1

Para fazer o que o enunciado pede, vamos ter que usar a seguinte fórmula do método de Newton.

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Mas temos que passar nossa equação para forma de função, isso é de boa, basta jogar todo mundo para o mesmo lado, então:

f x = 2 x - 2 + x 2

Mas se você reparar precisaremos de um x n inicial, um x 0 no caso, e como o enunciado não fornece, temos que escolher um. Vamos escolher a parti de um certo método, vamos comparar os gráficos das duas funções presentes na equação, que são 2 x e 2 - x 2 e escolher o x 0 mais próximo da intercessão dos gráficos na parte positiva, abaixo temos esses gráficos.

Se você reparar, nossos gráficos se interceptam duas vezes, logo teremos duas raízes os pontos bons que podemos escolher é x 0 = - 1 e x 0 = 1 , já que eles estão perto das intercessões.

Você pode estar se perguntando, quando devo parar de fazer conta? Bem quando encontrarmos dois valores consecutivos iguais até a sexta casa decimal, que é a precisão pedida no enunciado, está na hora de parar e assim o primeiro na sequência dos repetidos é a nossa raiz.

Passo 2

Antes de começar a fazer conta, temos que escrever nossa equação na forma de função, então:

f x = 2 x - 2 + x 2

E agora derivar essa função para usar na fórmula mostrada em 1 .

f ' x = 2 x log ⁡ ( 2 ) + 2 x

Agora partimos para fórmula.

Passo 3

Vamos então usar a bendita fórmula, primeiro para x 0 = - 1 .

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

⇒ x n + 1 = x n - 2 x n - 2 + x n 2 2 x n log ⁡ ( 2 ) + 2 x n

Então:

x 1 = - 1 - 2 - 1 - 2 + - 1 2 2 - 1 log ⁡ ( 2 ) + 2 ( - 1 )

⇒ x 1 = - 1 - - 0 , 5 - 1,653426

⇒ x 1 = - 1,302402

x 2 = - 1,302402 - 2 - 1,302402 - 2 + - 1,302402 2 2 - 1,302402 log ⁡ ( 2 ) + 2 ( - 1,302402 )

⇒ x 2 = - 1,302402 - - 0,1 01702 - 2,323767

⇒ x 2 = - 1,258636

x 3 = - 1,258636 - 2 - 1,258636 - 2 + - 1,258636 2 2 - 1,258636 log ⁡ ( 2 ) + 2 ( - 1,258636 )

⇒ x 3 = - 1,258636 - 0 , 002103 - 2 , 227578

⇒ x 3 = - 1 , 257691

x 4 = - 1 , 257691 - 2 - 1 , 257691 - 2 + - 1 , 257691 2 2 - 1 , 257691 log ⁡ ( 2 ) + 2 ( - 1 , 257691 )

⇒ x 4 = - 1 , 257691 - - 0,00000 05 - 2 , 225499

⇒ x 4 = - 1 , 257691

Como x 3 ≈ x 4 , logo nossa raiz é x 3 = - 1 , 257691 .

Passo 4

Vamos então usar a bendita fórmula, agora para x 0 = 1 .

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

⇒ x n + 1 = x n - 2 x n - 2 + x n 2 2 x n log ⁡ ( 2 ) + 2 x n

Então:

x 1 = 1 - 2 1 - 2 + 1 2 2 1 log ⁡ ( 2 ) + 2 ( 1 )

⇒ x 1 = 1 - 1 3 , 386294

⇒ x 1 = 0 , 704691

x 2 = 0 , 704691 - 2 0 , 704691 - 2 + 0 , 704691 2 2 0 , 704691 log ⁡ ( 2 ) + 2 ( 0 , 704691 )

⇒ x 2 = 0 , 704691 - 0 , 126387 2 , 539072

⇒ x 2 = 0 , 654914

x 3 = 0 , 654914 - 2 0 , 654914 - 2 + 0 , 654914 2 2 0 , 654914 log ⁡ ( 2 ) + 2 ( 0 , 654914 )

⇒ x 3 = 0 , 654914 - 0 , 003434 2 , 401203

⇒ x 3 = 0 , 653483

x 4 = 0 , 653483 - 2 0 , 653483 - 2 + 0 , 653483 2 2 0 , 653483 log ⁡ ( 2 ) + 2 ( 0 , 653483 )

⇒ x 4 = 0 , 653483 - 0,00000 1 2 , 397259

⇒ x 4 = 0 , 65348 3

Como x 3 ≈ x 4 , logo nossa raiz é x 3 = - 1 , 257691 .

Resposta

x 3 = - 1 , 257691

x 3 = - 1 , 257691

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