Enunciado

Use o método de Newton com o valor inicial especificado x 1 para encontrar x 3 , a terceira aproximação da raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais.)

x 5 - x - 1 = 0 ,               x 1 = 1

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😬

Nesse problema temos que usar o método de Newton com o valor inicial especificado x 1 = 1 para encontrar x 3 , a terceira aproximação da raiz da equação

x 5 - x - 1 = 0

Tem ideia de como fazemos isso? 👀

O primeiro passo seria reescrever a equação na forma padrão, mas ela já se encontra neste formato.

Sendo assim, utilizamos a fórmula:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Veja só! 😉

Passo 2

No nosso exemplo f x = x 5 - x - 1 = 0 e f ' x = 5 x 4 - 1 . Então,

x n + 1 = x n - ( x n ) 5 - ( x n ) - 1 5 ( x n ) 4 - 1

x 2 = x 1 - x 1 5 - x 1 - 1 5 x 1 4 - 1 = 1 - 1 5 - 1 - 1 5 1 4 - 1

x 2 = 1 - - 1 4 = 1 + 1 4

x 2 = 1,25

Achamos x 2 = 1,25 .

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Vamos achar x 3 usando x 2 .

x 3 = x 2 - x 2 5 - x 2 - 1 5 x 2 4 - 1

x 3 = 1,25 - 1,25 5 - 1,25 - 1 5 1,25 4 - 1

x 3 ≈ 1,1785

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😬

Resposta

x 3 ≈ 1,1785

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