Enunciado

(a) Use 4 para mostrar que, se s n é a n -ésima soma parcial da série harmônica, então

s n ≤ 1 + ln ⁡ n

(b) A série harmônica diverge, mas muito lentamente. Use a parte (a) para mostrar que a soma do primeiro milhão de termos é menor que 15 e a soma dos primeiros 10 9 termos é menor que 22 .

Passo 1

(a) Galera, olha pra seguinte figura:

Aqui podemos ver que:

a 2 + a 3 + … + a n ≤ ∫ 1 n 1 x   d x

1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n ≤ ln ⁡ n

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n ≤ 1 + ln ⁡ n

s n ≤ 1 + ln ⁡ n

Passo 2

(b) Usando o item anterior, obtemos:

s 10 6 ≤ 1 + ln ⁡ 10 6 ≈ 14,82 < 15

s 10 9 ≤ 1 + ln ⁡ 10 9 ≈ 21,72 < 22  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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