Enunciado

Encontre todos os valores positivos de b para os quais a série ∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n converge.

Passo 1

Então, pessoal...Pra resolver essa questão, vamos contar com a ajuda de um super-herói: o SUPER M(ACETE)!

Se liga só na dica do nosso super-herói:

b ln ⁡ n = e ln ⁡ b ln ⁡ n = e ln ⁡ n ln ⁡ b = n ln ⁡ b = 1 n - ln ⁡ b

Transformamos a nossa série numa p-série!!!

Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série original:

- ln ⁡ b > 1 → ∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n   c o n v e r g e → ∴ b < 1 e → ∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n   c o n v e r g e - ln ⁡ b < 1 → ∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n   d i v e r g e → ∴ b > 1 e → ∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n   d i v e r g e

Resposta

∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n   é convergente para   b < 1 e

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No Exemplo 7 mostramos que a série harmônica é divergente. Aqui, esboçamos outro método, que faz uso do fato de que para qualquer e x1 + x para qualquer x0 . (Veja o Exercício 4.3.76, no Volume I.)Se
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 1)^(oo) (5 - 2 sqrt(n))/(n^3)
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 1)^(oo) ( n^(- 1,4) + 3 n^(- 1,2) )
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 1)^(oo) (2)/(n^(0,85))
Determine se a série é convergente ou divergente.1 + (1)/(2 sqrt(2)) + (1)/(3 sqrt(3)) + (1)/(4 sqrt(4)) + (1)/(5 sqrt(5)) + ...