Enunciado

Use a mudança de variável y = x - 1 2 v ( x ) para encontrar a solução geral para a equação

x 2 y ' ' + 2 x y ' + λ 2 x 2 y = 0 ,   x > 0

Passo 1

Bora lá meu amigo

Temos que fazer y = x - 1 2 v ( x ) na equação:

x 2 y ' ' + 2 x y ' + λ 2 x 2 y = 0

Mas antes vamos encontrar y ' e y ' ' derivando x - 1 2 v ( x ) ok?

Vamos ter

y ' = x - 1 2 v ' x - 1 2 x - 3 2 v ( x )

E:

y ' ' = x - 1 2 v ' ' x - x - 3 2 v ' x + 3 4 x - 5 2 v ( x )

Agora sim, vamos substituir isso na nossa equação

Passo 2

Nossa equação vai ficar assim:

x 3 2 v ' ' + x 1 2 v ' + λ 2 x 3 2 - 1 4 x - 1 2 v = 0

Multiplicando tudo por x 1 2 , temos

x 2 v ' ' + x v ' + λ 2 x 2 - 1 4 v = 0

De onde temos:

λ 2 v 2 - 1 4 = 0

λ 2 v 2 = 1 4

λ v = ± 1 2

Então, nossa solução geral é

y = c 1 J 1 2 λ x + c 2 J - 1 2 ( λ x )

Resposta

y = c 1 J 1 2 λ x + c 2 J - 1 2 ( λ x )

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