Lista de Exercícios Resolvidos de Equação de Laplace do Retângulo

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Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado 0,1 × 0,1 com condições de Neumann:

u x x x , y + u y y x , y = 0 x , y ∈ 0,1 × 0,1 u y x , 0 = u y x , 1 = 0 x ∈ 0,1 u x 0 , y = 0 y ∈ 0,1 u x 1 , y = f y y ∈ 0,1   16 a 16 b 16 c 16 d

Onde f é uma função infinitamente diferenciável no intervalo 0,1

  1. Determine todas as soluções não triviais de 16 a - 16 b - 16 c na forma de u x , y = X x Y y
  2. Para que o problema 16 a - 16 b - 16 c - 16 d tenha solução é necessário que a integral

I = ∫ 0 1 f y d y

Tenha um valor específico. Supondo que existe uma solução u x , y do problema, use o formato da solução obtida pelo método de separação de variáveis para descobrir o valor de I .

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Encontre a solução u ( x , y ) da Equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b , que satisfaz as condições de contorno:

u 0 , y = 0 ,                 u a , y = 0                         0 < y < b

u x , 0 = 0 ,                 u x , b = g ( x )                         0 ≤ x ≤ a

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Usando o método da separação de variáveis, encontre a solução u ( x , y ) da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b que satisfaz as condições de contorno.

u 0 , y = u a , y = 0           0 < y < b

u x , 0 = 0           u x , b = g x           0 ≤ x ≤ a

Onde g é uma função com derivada contínua definida em 0 ≤ x ≤ a .

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Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado 0,1 × 0,1 com condições de Neumann:

u x x x , y + u y y x , y = 0 x , y ∈ 0,1 × 0,1 u y x , 0 = u y x , 1 = 0 x ∈ 0,1 u x 0 , y = 0 y ∈ 0,1 u x 1 , y = f y y ∈ 0,1   16 a 16 b 16 c 16 d

Onde f é uma função infinitamente diferenciável no intervalo 0,1

  1. Determine todas as soluções não triviais de 16 a - 16 b - 16 c na forma de u x , y = X x Y y
  2. Para que o problema 16 a - 16 b - 16 c - 16 d tenha solução é necessário que a integral

I = ∫ 0 1 f y d y

Tenha um valor específico. Supondo que existe uma solução u x , y do problema, use o formato da solução obtida pelo método de separação de variáveis para descobrir o valor de I .

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