Enunciado

Nos problemas 7-10, especifique as singularidades regulares e irregulares da equação diferencial dada.

x 3 - 10 x 2 + 25 x y ' ' + y ' = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, vamos começar escrevendo a EDO da forma “certinha”:

y ' ' + y ' x 3 - 10 x 2 + 25 x = 0

Fatorando...

y ' ' + y ' x x - 5 2   = 0

Então temos os pontos x = 0 e x = 5 como singulares na equação.

Vamos classificar agora como regular ou irregular.

Passo 2

Analisando primeiro o caso x = 0 . Para ser regular, é necessário que existam os limites:

lim x → 0 ⁡ x   p x

lim x → 0 ⁡ x 2 p   ( x )

Temos:

lim x → 0 ⁡ x   p x =   lim x → 0 ⁡ x 1 x x - 5 2 =   l i m x → 0 1 x - 5 2 = 1 5  

lim x → 0 ⁡ x 2 p   ( x ) =   lim x → 0 ⁡ x 2 1 x x - 5 2 = l i m x → 0 x x - 5 2 = 0  

Os limites existem, então esse é um ponto regular!

Passo 3

Agora vamos ver o ponto x = 5 :

lim x → 5 ⁡ x - 5 1 x x - 5 2 = 1 x x - 5

Esse limite não existe (se fizer os laterais, vão dar diferentes!), então aqui a gente já conclui que esse ponto é irregular.

Resumindo: temos uma singularidade regular em x = 0 e irregular em x = 5 .

Resposta

Singularidade regular em x = 0 e irregular em x = 5

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