Enunciado

Use a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.

∬ T sen 4 ⁡ x + y d A ,   T   é   o   t r i n â n g u l o   l i m i t a d o   p e l a s   r e t a s   y = 0 ,   y = 2 x   e   x = 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O objetivo da questão é utilizar a propriedade 11 para estimar o valor da integral. Temos que a propriedade é dada por:

S e   m ≤ f x , y ≤ M   p a r a   t o d o   x , y   e m   D ,   e n t ã o :

m A D ≤ ∬ D f x , y d A ≤ M A ( D )

Passo 2

Vamos resolver a integral a partir da propriedade:

m A T ≤ ∬ T sen 4 ⁡ x + y d A ≤ M A ( T )  

Seja A ( T ) a área do triângulo, temos que:

A T = 1 2 ( 1 ) ( 2 )

A T = 1

Por definição sabemos que:

- 1 ≤ sen ⁡ θ ≤ 1   o u   0 ≤ sen ⁡ θ ≤ 1    

Isso implica dizer que:

  0 ≤ sen ⁡ θ ≤ 1

0 ≤ sen 4 ⁡ θ ≤ 1

Substituindo θ por ( x + y ) , temos:

0 ≤ sen 4 ⁡ x + y ≤ 1

Aplicando à propriedade, temos:

0 1 ≤ ∬ T sen 4 ⁡ x + y d A ≤ 1 1

Logo:

0 ≤ ∬ T sen 4 ⁡ x + y d A ≤ 1

Resposta

0 ≤ ∬ T sen 4 ⁡ x + y d A ≤ 1

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