Enunciado

Altura média de um hemisfério: Encontre a altura média da superfície hemisférica z   =   a 2   -   x 2   -   y 2 acima do disco x 2   +   y 2   ≤   a 2 no plano x y .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

A média de uma função f ( x , y ) é dada por:

m = ( 1 A ∬ D f x , y d x   d y ) )  

Onde A é a do domínio, nesse caso f x , y = a 2 - x 2 - y 2 e D é área do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 .

Sabemos que a área de disco é π a 2 . Temos:

m = 1 π a 2 ∬ D a 2 - y 2 - x 2   d x   d y

Podemos levar para coordenadas polares:

Sabendo que x 2 + y 2 = r 2

a 2 - x 2 + y 2 → a 2 - r 2

Logo:

m = 1 π a 2 ∬ D a 2 - r 2     r   d r   d θ

Sendo o disco, dado por exemplo por:

Onde o raio nesse caso foi escolha arbitraria, caso a   fosse 4, o raio seria 4, se fosse 5, seria.. Até que percebemos que r = a . Assim:

m = 1 π a 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r 2   r   d r   d θ

Passo 2

Fazendo u = a 2 - r 2 , logo d u = - 2 r d r , quando r = 0 ,   u = a 2 e r = a ,   u = 0

Assim:

1 π a 2 ∫ 0 2 π ∫ a 2 0 - 1 2 u   d u d θ

Passo 3

Usando a propriedade que ∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x , temos:

1 π a 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 1 2 u   d u   d θ

1 2 π a 2 ∫ 0 2 π 2 3 u 3 2 0 a 2 d θ

1 2 π a 2 ∫ 0 2 π 2 3 a 3 d θ

a 3 π ∫ 0 2 π d θ

a 3 π θ 0 2 π

2 3 a  

Resposta

A altura média m é:

m = 2 3 a  

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