Enunciado

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ π / 4 3 π / 4 sen 2 ⁡ x   d x

Passo 1

A Propriedade 8 do livro diz respeito ao teorema do valor médio para integrais. O teorema diz que se temos uma função contínua num intervalo [ a ,   b ] , e essa função dentro do intervalo tem valor máximo M e valor mínimo m , então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Então podemos resolver o problema encontrando os valores máximo e mínimo absoluto da função no intervalo e aplicando o teorema. Saberemos então entre que valores está a integral.

Passo 2

Temos a função f x = sen 2 ⁡ x   no intervalo π 4 , 3 π 4 e queremos achar o máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. Vamos derivar a função para analisar o crescimento e decrescimento e veificar se tem pontos críticos:

f x = sen 2 ⁡ x

f ' x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x

A derivada sempre existe, então vamos procurar os pontos críticos onde ela é igual a zero. No nosso intervalo x ∈ π 4 , 3 π 4 temos 2 x ∈ π 2 , 3 π 2 , e o valor de x que zera a derivada pode ser encontrado:

sen ⁡ 2 x = 0

⇒ 2 x = π

⇒ x = π 2

Agora comparamos o valor nesse possível extremo e no início e final do intervalo:

f π 4 = sen 2 ⁡ π 4 = 2 2 2 = 2 4 = 1 2

f π 2 = sen 2 ⁡ π 2 = 1 2 = 1

f 3 π 4 = sen 2 ⁡ 3 π 4 = 2 2 2 = 2 4 = 1 2

Com isso, podemos dizer que o valor mínimo da função no intervalo é f π 4 = f 3 π 4 = 1 2 e p valor máximo é f π 2 = 1 . A função cresce de 1 / 2 até 1 e depois volta de novo para 1 / 2 . Agora que temos m e M , basta aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando então o teorema:

1 2 3 π 4 - π 4 ≤ ∫ π 4 3 π 4 sen 2 ⁡ x   d x ≤ 1 3 π 4 - π 4

⇒ 1 2 2 π 4 ≤ ∫ π 4 3 π 4 sen 2 ⁡ x   d x ≤ 2 π 4

⇒ π 4 ≤ ∫ π 4 3 π 4 sen 2 ⁡ x   d x ≤ π 2

Sabemos então que a integral está entre esses dois valores.

Resposta

π 4 ≤ ∫ π 4 3 π 4 sen 2 ⁡ x   d x ≤ π 2

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