Enunciado

Use qualquer método para encontrar o comprimento de arco da curva.

y = 2 x 2 ,     0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Para calcular o comprimento do arco de uma função de x , podemos montar a integral:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pelos extremos de integração. O enunciado já disse o intervalo para a gente, então:

a = 0 ,     b = 2

A gente tem que:

f x = 2 x 2

Precisamos derivar, e depois elevar ao quadrado:

f ' x = 4 x

f ' x 2 = 16 x 2

Nossa integral fica então com essa carinha:

L = ∫ 0 2 1 + 16   x 2 d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 72 da tabela de integrais:

∫ u 2 + a 2   d u = u 2 u 2 + a 2 + a 2 2 ln ⁡ u + u 2 + a 2 + C

Vamos tirar o 16 de dentro da raiz para o x ficar sozinho:

L = ∫ 0 2 1 + 16   x 2 d x = 4 ∫ 0 2 1 4 2 + x 2 d x

Podemo usar a fórmula agora, fazendo x = u , a = 1 4 :

L = 4 ∫ 0 2 1 4 2 + x 2 d x = 2 x 1 4 2 + x 2 + 1 8 ln ⁡ x + 1 4 2 + x 2 ​ 0 2

Fazendo essas continhas, temos que:

L = 8,40931

Prontinho!

Resposta

L = 8 , 40931

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