Enunciado

38. a) Use um recurso computacional para gerar o gráfico da função f   ( x )   =   x x 3 - x + 2 e, então, use o gráfico para fazer uma conjectura sobre o número e a localização de todas as descontinuidades.

b) Use o Teorema do Valor Intermediário para localizar aproximadamente todos os pontos de descontinuidade com duas casas decimais de precisão.

Passo 1

a)

Olhando esse gráfico, ele aparenta ter um único ponto onde a função é descontinua, mas porque apenas um?

Lembre-se que os pontos onde a função provavelmente é descontínua são os pontos onde a função não está definida e como a função em questão é uma função racional, esse ponto provavelmente é uma das raízes de   x 3 - x + 2 .

Como x 3 - x + 2 tem apenas uma raiz, nós poderiamos ter um ou nenhum ponto de descontinuidade.

Observando o gráfico, também é possivel obter a informação de que esse ponto de descontinuidade está entre no intervalo ( - 2 , - 1 ) .

Passo 2

b) Bom, como vimos anteriormente, o ponto de descontinuidade com certeza é um ponto onde x 3 - x + 2 se anula, ou seja, em uma raiz desse polinômio. Então vamos fazer a análise dessa função para encontrar essa raiz.

Note que essa análise não poderia ser feita para x x 3 - x + 2 , pois o teorema do valor intermadiario só pode ser aplicado para funções contínuas em um intervalo, e x x 3 - x + 2 tem um ponto de descontinuidade em ( - 2 , - 1 ) .

Como x 3 - x + 2   é contínua em ( - 2 , - 1 ) e como f - 2 = - 4 < 0 < 2 = f ( - 1 ) ,   então existe x 0   ∈ - 2 , - 1 tal que f ( x 0 ) = 0 .

Sabendo que a raiz está no intervalo ( - 2 , - 1 ) , vamos tentar reduzir esse intervalo para facilitar nossas contas. Para isso, vamos dividir esse intervalo em 5 partes iguais e calcular a função nos extremos de cada um desses intervalos, desta forma:

Ainda não temos nenhum ponto que satisfaz f x < 0,01 , portanto vamos repetir o processo, mas agora podemos selecionar um intevalo bem melhor, que é o ( - 1.6 , - 1.4 ) , pois a função nesses pontos é mais próximo de 0 que nos outros.

Vamos agora dividir o intervalo em 4 partes iguais e calcular a função nos extremos de cada um desses intervalos, desta forma:

E por ultimo, fazemos uma divisão para o intervalo ( - 1.55 , - 1.5 )

Note que x = - 1,52 satisfaz nossa condição pois f ( - 1,52 ) = 0,008 < 0,01

Resposta

a)Temos um ponto de descontinuidade no seguinte intervalo ( - 2 , - 1 ) .

b) x = - 1,52

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49- Encontre um valor diferente de zero para a constante k que torne f ( x ) t g k x x ,x0 3 x + 2 k 2 , x ≥ 0 Contínua em x = 0 .
15-16 Em cada parte, use o Teorema 1.5.6 (b) para mostrar que a função é contínua em toda parte.15- a) s e n ( x 3 + 7 x + 1 ) b) s e n x c) cos 3 ⁡ ( x + 1 )
9-14 Determine onde f é contínua.10. f x = arccos ⁡ l n x
50. Será a função f x = s e n x x , x ≠ 0 1 , x = 0 contínua em x = 0 ? Explique.
53-Encontre lim x → 1 ⁡ s e nπ x x - 1