Enunciado

35-36. Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não é contínua e determine se cada um desses valores é uma descontinuidade removível.

36. (a) f x = x 2 - 4 x 3 - 8

(b) f x = 2 x - 3 ,         x ≤ 2 x 2 ,                       x > 2

(c) f x = 3 x 2 + 5 ,         x ≠ 1 6 ,                                 x = 1

Passo 1

Para resolvermos o item (a), vamos começar entendendo a função. Se trata de uma função racional. Portanto, no ponto onde o denominador se anula ela não está definida. Nesse caso, para x 3 - 8 = 0 . Ou melhor, quando x = 2 .

Vamos calcular o limite para x → 2 :

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x 3 - 8

lim x → 2 ⁡ x - 2 ( x + 2 ) x - 2 ( x 2 + 2 x + 4 )

lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = 4 12 = 1 3

Como o limite existe e a função não está definida no ponto, trata-se, portanto, de uma descontinuidade removível.

Passo 2

Para resolvermos o item (b), vamos começar analisando a função. Trata-se de uma função bipartida.Portanto, o melhor caminho é começar calculando os limites laterais no ponto em que a função muda a sua lei. Nesse caso, no ponto x = 2 .

Quando x → 2 - , temos:

lim x → 2 - ⁡ 2 x - 3

lim x → 2 - ⁡ 4 - 3 = 1

Quando x → 2 + , temos:

lim x → 2 + ⁡ x 2

lim x → 2 + ⁡ x 2 = 4

Como os limites laterais deram resultados diferentes, o limite quando x → 2 não existe e, portanto, se trata de um ponto de descontinuidade que não é removível.

Passo 3

Para resolvermos o item (c), vamos começar analisando a função. Trata-se de uma função bipartida. Nesse caso, o melhor caminho é começar calculando o limite no ponto em que a função muda a sua lei; que é o x = 1 .

lim x → 1 ⁡ 3 x 2 + 5

lim x → 1 ⁡ 8 = 8

Como o limite existe quando x → 1 e lim x → 1 ⁡ 3 x 2 + 5   ≠ f ( 1 )

sabemos que este é um ponto de descontinuidade removível.

Resposta

  1. x = 2 ;   removível
  2. x = 2 ; não removível
  3. x = 1 ; removível
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