Enunciado

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho.

∭ B 1 ln ⁡ ( 1 + x + y + z ) d V

onde B = x , y , z |   0 ≤ x ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ 8 ,   0 ≤ z ≤ 4

Passo 1

Para dividir B em oito caixas de igual tamanho, basta dividirmos cada intervalo no meio e pegar os pontos médios destes intervlos, se dividirmos a variação 0 ≤ x ≤ 4 em duas, ficamos com 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ x ≤ 4 e o ponto médio desses intervalos são 1 e 3 , para z temos a mesma variação, para y vamos dividir em 0 ≤ y ≤ 4 e 4 ≤ y ≤ 8 os pontos médio são 2 e 6 e os pontos médios das oito caixas, é a combinação desses dois valores em todas as variáveis, então ficamos com os pontos

P 1 = 1,2 , 1             P 5 = ( 1,6 , 3 )

P 2 = ( 1,2 , 3 )             P 6 = ( 3,2 , 3 )

P 3 = ( 1,6 , 1 )             P 7 = ( 3,6 , 1 )

P 4 = ( 3,2 , 1 )             P 8 = ( 3,6 , 3 )

Passo 2

Para estimar a integral, pegamos o volume de cada caixa que é V = 2 × 4 × 2 = 16 pelo valor da função no ponto médio da caixa, então temos

∭ B 1 ln ⁡ ( 1 + x + y + z ) d V ≈ 16 f P 1 + f P 2 + f P 3 + f P 4 + f P 5 + f P 6 + f P 7 + f P 8

= 16 1 ln ⁡ 5 + 1 ln ⁡ 7 + 1 ln ⁡ 9 + 1 ln ⁡ 7 + 1 ln ⁡ 11 + 1 ln ⁡ 9 + 1 ln ⁡ 11 + 1 ln ⁡ 13

= 60,533

Resposta

∭ B 1 ln ⁡ ( 1 + x + y + z ) d V ≈ 60,533

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho. ∭ B sen ⁡ ( x y 2 z 3 ) d V onde B = x , y , z |0 ≤ x
Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B, onde f ( x , y , z ) é calculada no centro ( x - i , y - j , z - k )
Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro y 2 + z 2 = 1 pelos planos y = x e x = 1 como uma integral tripla.Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Refêrencia 6-10
O valor médio de uma função f ( x , y , z ) em uma região sólida E é definido como f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , zd V Onde V ( E ) é o volume de E . Por exemplo, se ρ é a função densidade, então ρ
Suponha que X ,Y e Z sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta f x , y , z = C e - ( 0,5 x + 0,2 y + 0,1 z ) se x ≥ 0 ,y ≥ 0 ,z ≥ 0 e f x , y , z = 0 caso contrário.Determine o valor da