Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

  1. Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B, onde f ( x , y , z ) é calculada no centro ( x - i , y - j , z - k ) da caixa B i j k . Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar ∭ B x 2 + y 2 + z 2   d V , onde B é o cubo definido por 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ 4 . Divida B em oito cubos de igual tamanho.
  2. Use um sistema de computação algébrica para aproximar a integral da parte (a) com precisão de duas casas decimais. Compare com a resposta da parte (a).

Passo 1

  1. Se dividirmos a variação 0 ≤ x ≤ 4 em duas, ficamos com 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ x ≤ 4 e o ponto médio desses intervalos são 1 e 3 , como as variações de todas as variáveis são iguais, os pontos médio dos oito cubos, é a combinação desses dois valores em todas as variáveis, então ficamos com os pontos
  2. P 1 = 1,1 , 1             P 5 = ( 1,3 , 3 )

    P 2 = ( 1,1 , 3 )             P 6 = ( 3 , 1 , 3 )

    P 3 = ( 1,3 , 1 )             P 7 = ( 3 , 3 , 1 )

    P 4 = ( 3,1 , 1 )             P 8 = ( 3 , 3,3 )

    Para estimar a integral, pegamos a função neste ponto médio e multiplicamos pelo volume da caixa, como temos todas as caixa idênticas, de volume V = 2 3 , temos que

    ∭ B x 2 + y 2 + z 2   d V ≈ 2 3 f P 1 + f P 2 + f P 3 + f P 4 + f P 5 + f P 6 + f P 7 + f P 8

    = 8 3 + 11 + 11 + 11 + 19 + 19 + 19 + 27

    = 8 3 + 3 11 + 3 19 + 3 3 = 8 4 3 + 3 11 + 3 19

    = 239,638 …

    Passo 2

  3. Usando um software para aproximar a integral, temos

∭ B x 2 + y 2 + z 2   d V ≈ 245,91

Temos um erro < 6 na letra (a) o que garante uma boa aproximação para dois dígitos significativos.

Resposta

  1. ∭ B x 2 + y 2 + z 2   d V ≈ 239,6 4

∭ B x 2 + y 2 + z 2   d V ≈ 245,91

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilind
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) pa
A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X ,   Y e Z
Calcular o volume do sólido delimitado por x 2 + y 2 = 4 , z = 0 e 4 x
Calcular o volume do tetraedro da Figura 8.32.Entre os planos z = 1 e