Enunciado

Use a regra de Simpson com n = 8 para estimar o comprimento da elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 36 .

Passo 1

Então pessoal, antes de aplicarmos a regra de Simpson devemos escrever essa elipse no seu formato padrão, que é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Para conseguirmos escrever a equação que nos foi dada dessa forma, basta dividirmos tudo por 36 , saca só:

x 2 4 + y 2 9 = 1

Ok, o primeiro passo foi feito! Agora temos que escrever a integral que define o comprimento da elipse em questão! De acordo com o Stewart, a integral é a seguinte:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Aqui vale ressaltar que estamos trabalhando com coordenadas polares, sendo assim, temos que parametrizar nossa curva com as equações:

x = 2 . cos ⁡ t

y = 3 . s e n   t

Ademais, a nossa elipse tem um intervalo de [ 0,2 π ] .

Passo 2

Só falta uma coisinha para podermos escrever a nossa integral, que é determinar as derivadas de x e y ! Derivando essas funções, teremos:

d x d t = - 2 . s e n   t

d y d t = 3 . cos ⁡ t

Substituindo na integral, teremos:

L = ∫ 0 2 π - 2 . s e n   t 2 + 3 . cos ⁡ t 2 d t

L = ∫ 0 2 π 4 . s e n 2 t + 9 . c o s ² t d t

Tudo bem, escrevemos a nossa integralzinha, certo? Agora vamos aplicar a regra de Simpson! O enunciado pede para que dividamos a região dessa integral em 8 subintervalos, certo? Sendo assim, teremos:

h = b - a n

h = 2 π - 0 8 = π 4

Ademais, temos que a nossa função é:

f t = 4 . s e n 2 t + 9 . c o s ² t

Passo 3

Como h = π 4 , então a regra de Simpson diz que devemos descobrir o valor da função em intervalos múltiplos interios de h até atingirmos o intervalo desejado, que é 2 π ! Os valores devem ser substituídos na seguinte expressão:

L ≈ h 3 . f 0 + 4 f t 1 + 2 f t 2 + 4 f t 3 + 2 f t 4 + 4 f t 5 + 2 f t 6 + 4 f t 7 + f 2 π

E esses valores de t são:

t 1 = π 4

t 2 = 2 . π 4 = π 2

t 3 = 3 π 4

t 4 = 4 . π 4 = π

t 5 = 5 π 4

t 6 = 6 . π 4 = 3 π 2

t 7 = 7 π 4

Aplicando cada um desses valores na função f ( t ) , teremos:

f π 4 = 4 . s e n 2 π 4 + 9 . c o s 2 π 4 = 13 2

f π 2 = 4 . s e n 2 π 2 + 9 . c o s 2 π 2 = 2

f 3 π 4 = 4 . s e n 2 3 π 4 + 9 . c o s 2 3 π 4 = 13 2

f π = 4 . s e n 2 π + 9 . c o s 2 π = 3

f 5 π 4 = 4 . s e n 2 5 π 4 + 9 . c o s 2 5 π 4 = 13 2

f 3 π 2 = 4 . s e n 2 3 π 2 + 9 . c o s 2 3 π 2 = 2

f 7 π 4 = 4 . s e n 2 7 π 4 + 9 . c o s 2 7 π 4 = 13 2

Passo 4

Substituindo os valores que encontramos no passo anterior na expressão que define o comprimento da elipse, teremos:

L ≈ π 4 3 3 + 4 13 2 + 2.2 + 4 13 2 + 2.3 + 4 13 2 + 2.2 + 4 13 2 + 3

∴ L ≈ 15,9   ( u . c )

Resposta

L ≈ 15,9   ( u . c )

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