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9-10. Encontre uma equação da parábola. A seguir, ache o foco e a diretriz.

Passo 1

De acordo com a seção 10.5 do Stewart, a equação que define o comportamento de uma parábola é a seguinte:

x 2 = 4 p y

No entanto, essa equação SÓ é válida para parábolas com vértice na origem, ou seja, em ( 0,0 ) ! Se observarmos o gráfico que nos foi dado notaremos que o vértice da parábola não está na origem, ele está deslocado verticalmente e horizontalmente por algumas casas. Para esse tipo de caso, temos a seguinte equação:

x - x o 2 = 4 p ( y - y o )

No qual x o e y o se referem ao ponto ( x o , y o ) no qual o vértice se encontra. Ademais, se observarmos o gráfico que nos foi dado com cuidado, podemos perceber que o vértice está no ponto ( 2 , - 2 ) , ou seja, duas casas para a direita e duas casas para baixo. Em outras palavras:

x o = 2

y o = - 2

Substituindo na equação da parábola que escrevemos:

x - 2 2 = 4 p ( y + 2 )

Passo 2

Tudo bem, agora encontramos uma expressão parcial dessa parábola, pois falta descobrirmos quanto vale p , certo? Aqui vamos utilizar uma análise um pouco mais profunda do gráfico, mas nada tão difícil assim, beleza? Como não temos a expressão da parábola (é o que queremos descobrir), então temos que ver se o gráfico dado nos cede algum ponto, qualquer um! Podemos notar que a curva passa pela origem, ou seja, em ( 0,0 ) , não é mesmo? Se substituirmos esse ponto na equação “parcial” da parábola que encontramos, teremos:

0 - 2 2 = 4 p ( 0 + 2 )

4 = 4 p . 2

∴ p = 1 2

Opa, agora sim! Substituindo p , teremos:

x - 2 2 = 4 . 1 2   ( y + 2 )

x - 2 2 = 2 ( y + 2 )

Sendo assim, está aí a equação da nossa parábola de forma completa!

Passo 3

Por fim, para determinarmos o foco e a diretriz temos que utilizar as seguintes relações:

f o c o : x o , y o + p

d i r e t r i z : y = y o - p

Aqui vale ressaltar que essas relações só estão sendo utilizadas porque a parábola está deslocada, tudo bem? Se a parábola tivesse seu vértice na origem, x o = 0 e y o = 0 , então se resumiria a:

f o c o : 0 , p

d i r e t r i z : y = - p

Mas isso é só um conceito a mais para ficar aí pra vocês, belezura? Substituindo os valores que temos para descobrirmos o foco e a diretriz, teremos:

f o c o : 2 ,   - 2 + 1 2 ⇒ f o c o : 2 ,   - 3 2

d i r e t r i z : y = - 2 - 1 2 ⇒ d i r e t r i z : y = - 5 2

Resposta

x - 2 2 = 2 y + 2

f o c o : 2 ,   - 3 2

d i r e t r i z : y = - 5 2

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