Enunciado

19-24. Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.

20. x 2 36 - y 2 64 = 1

Passo 1

De acordo com a seção 10.5, desde que a hipérbole não esteja deslocada, são equações de hipérbole:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1   e   y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

Dessas duas equações a que se assemelha com a equação que nos foi dada pelo enunciado é o primeiro tipo. Para esse primeiro tipo a equação da hipérbole apresenta focos em:

± c , 0

Vértices em:

± a , 0

E, por fim, assíntotas em:

y = ± b a x

A equação que nos foi dada é:

x 2 36 - y 2 64 = 1 ⇒ x 2 6 2 - y 2 8 2 = 1

Então disso podemos tirar que a = 6 e b = 8 , tranquilão?!

Passo 2

Beleza, agora já identificamos quem é a e b , mas falta identificar quem é c , não é mesmo? Para uma hipérbole podemos determinar c utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 + b ²

Substituindo os valores de a e b , teremos:

c 2 = 6 2 + 8 2

c 2 = 100 ∴ c = ± 10

Prontinho, agora nosso problema já está praticamente resolvido! Determinamos a , b e c , então é só substituir nas relações comentadas no passo anterior, saca só:

f o c o s : 10,0   e   ( - 10,0 )

v é r t i c e s : 6,0   e   - 6,0

a s s í n t o t a s : y = 8 6 x   e   y = - 8 6 x

Por fim, esboçando o gráfico, teremos:

Resposta

f o c o s : 10,0   e   ( - 10,0 )

v é r t i c e s : 6,0   e   - 6,0

a s s í n t o t a s : y = 8 6 x   e   y = - 8 6 x

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