Enunciado

Use o resultado do Problema 34 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.

f ( t )   =   s e n ( t ) ,   0 ≤ t < π ;

f ( t + π ) = f ( t )

função f ( t ) , função seno retificada

Passo 1

Para uma função que se repete periodicamente a cada unidade T, a transformação Laplace é:

ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 T e - s t f ( t ) d t 1 - e - s T

Passo 2

Nesse problema, o período é T = π .

ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 π e - s t ( s e n ( t ) ) d t 1 - e - s π

Use a integração por partes duas vezes para avaliar a integral no numerador.

∫ 0 π e - s t ( s e n ( t ) )   d t = ∫ 0 π e - s t d d t ( - c o s ( t ) ) d t = e - s π ( - c o s ( π ) )   - e 0 ( - c o s ( 0 ) )     -   ∫ 0 π ( - s ) e - s t ( - c o s ( t ) )   d t

Resolvendo a integral, chegamos em:

∫ 0 π e - s t ( s e n ( t ) ) d t   =   e - π s + 1   - s ² ∫ 0 π e - s t ( s e n ( t ) ) d t

Passo 3

Como um resultado, temos:

( 1 + s ² ) ∫ 0 π e - s t ( s e n ( t ) ) d t = e - π s + 1

∫ 0 π e - s t s e n ( t )   d t = e - π s + 1 s ² + 1

E portanto, a equação ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 π e - s t ( s e n ( t ) ) d t 1 - e - π s se torna:

ℒ { f ( t ) } = e - π s + 1 s ² + 1 1 - e - π s = e - π s + 1 ( s ² + 1 ) ( 1 - e - π s )

Resposta

ℒ { f ( t ) } = e - π s + 1 ( s ² + 1 ) ( 1 - e - π s )

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