Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 8 x^2 - x^4

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Precisamos achar a primeira e segunda derivada para analisar crescimento e concavidade, procurar as interseções com eixos, etc...

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D_f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim, y = 0 . Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

8 x^2 - x^4 = 0

x^2 (8 - x^2) = 0

x^2 (sqrt(8) - x) (sqrt(8) + x) = 0

Assim, as raízes são x = 0 , x = +- sqrt(8) . As interseções com os eixos são (0,0) e ( +- sqrt(8) , 0 ) .

Passo 4

Note que y tem apenas expoentes pares de x , assim ela é par, sendo simétrica com relação ao eixo y .

Passo 5

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

underset(x -> - oo)(lim) 8 x^2 - x^4 = - oo

underset(x -> oo)(lim) 8 x^2 - x^4 = - oo

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y^' = 16 x - 4 x^3 = - 4 x (x^2 - 4) = - 4 x ( x - 2 ) ( x + 2 )

Desta forma,

Assim, x = 0 é ponto de mínimo local e x = - 2 e x = 2 são pontos de máximo local.

Mínimo local: ( 0,0 ) ; máximo local: ( +- 2,16 ) .

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y^(' ') = 16 - 12 x^2 = 12 ((16)/(12) - x^2) = 12 (sqrt((4)/(3)) - x) (sqrt((4)/(3)) + x)

Assim,

Como f (+- sqrt(4 // 3)) = 80 // 9 , os pontos ( +- sqrt(4 // 3) , 80 // 9 ) são pontos de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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