Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x^3 + x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A questão pede para usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada.

Para isso, devemos achar as raízes, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, análise da concavidade e, daí, esboçar o gráfico.

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D_f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim o ponto onde isso ocorre é: y = 0 .

Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

x^3 + x = 0

x (x^2 + 1) = 0

A única raiz é x = 0 pois x^2 + 1 não pode ser zero no conjunto dos reais. Assim, o único ponto de interseção com os eixos coordenados é ( 0,0 ) .

Passo 4

Vamos ver se y = f ( x ) tem algum tipo de simetria trocando x por – x :

f (- x) = (- x)^3 + (- x) = - x^3 - x = - (x^3 + x) = - f ( x )

Como f (- x) = f ( x ) , y é uma função ímpar simétrica com relação à origem.

Passo 5

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

underset(x -> - oo)(lim) x^3 + x = - oo

underset(x -> oo)(lim) x^3 + x = + oo

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y^' = 3 x^2 + 1

Note que 3 x^2 >= 0 , de modo que y^' > 0 , assim y é estritamente crescente para todo x real. Assim, a função não tem extremos locais nem globais.

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y^(' ') = 6 x

Assim,

O ponto ( 0,0 ) é um ponto de inflexão.

Então abaixo nosso gráfico:

Resposta

Esboço da curva:

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