Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x^4 + 4 x^3

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Teremos que achar as raízes, interseções com eixos, analisar intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e limites no infinito.

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D_f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . O ponto que corta o eixo y é ( 0,0 ) pois quando x = 0 , temos que y = 0 . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

x^4 + 4 x^3 = 0

x^3 (x + 4) = 0

Assim, as raízes são x = 0 e x = - 4 . As interseções com os eixos são (0,0) e ( - 4,0 ) .

Passo 4

Como a função tem potencias de expoentes par e ímpar, ela não nem par nem ímpar.

Passo 5

Como é um polinômio, y não tem assíntotas:

underset(x -> - oo)(lim) x^4 + 4 x^3 = + oo

underset(x -> oo)(lim) x^4 + 4 x^3 = + oo

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar y :

y^' = 4 x^3 + 12 x^2 = 4 x^2 ( x + 3 )

Como x^2 >= 0 , segue que:

Assim, x = 0 é um ponto crítico que não é extremo local e x = 3 é ponto de mínimo local. Temos que f (3) = - 27 .

Mínimo local: ( 3 , - 27 ) .

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y^(' ') = 12 x^2 + 24 x = 12 x ( x + 2 )

Assim,

Como f (0) = 0 e f (- 2) = - 16 , os pontos ( 0,0 ) e ( - 2 , - 16 ) são pontos de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado). f x = x 2 x 2 + 2 x + 5
Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado). f x = x 5 - 4 x 4 + 4 x 3
Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado). f x = 1 + x 2 3 3 - x 1 / 3
Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado). f x = x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 + 1
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta28. Se o gráfico de f tiver uma assíntota vertical em x = 1 , então f não pode ser continua em x = 1