Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x^4 + 4x^3

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Teremos que achar as raízes, interseções com eixos, analisar intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e limites no infinito.

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . O ponto que corta o eixo y é ( 0,0 ) pois quando x = 0 , temos que y = 0 . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

x 4 + 4 x 3 = 0

x 3 x + 4 = 0

Assim, as raízes são x = 0 e x = - 4 . As interseções com os eixos são 0,0 e ( - 4,0 ) .

Passo 4

Como a função tem potencias de expoentes par e ímpar, ela não nem par nem ímpar.

Passo 5

Como é um polinômio, y não tem assíntotas:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + 4 x 3 = + ∞

lim x → ∞ ⁡ x 4 + 4 x 3 = + ∞

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar y :

y ' = 4 x 3 + 12 x 2 = 4 x 2 ( x + 3 )

Como x 2 ≥ 0 , segue que:

Assim, x = 0 é um ponto crítico que não é extremo local e x = 3 é ponto de mínimo local. Temos que f 3 = - 27 .

Mínimo local: ( 3 , - 27 ) .

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y ' ' = 12 x 2 + 24 x = 12 x   ( x + 2 )

Assim,

Como f 0 = 0 e f - 2 = - 16 ,   os pontos ( 0,0 ) e ( - 2 , - 16 ) são pontos de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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