Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 65
Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo , ache uma equação para a assíntota oblíqua.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar o gráfico da seguinte função:
Para isso, iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro:
Domínio
Intersecções com os eixos
Simetria
Assíntotas
Intervalos de crescimento e decrescimento
Valores de máximo e mínimo locais
Concavidade e ponto de inflexão
Esboço da curva
Passo 2
Domínio
Nossa função está definida para todos os números pertencentes aos Reais pois não há restrição no denominador (qualquer valor de será sempre positivo quando elevado ao quadrado)
Passo 3
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre quando .
Nossa função intercepta o eixo em , portanto:
Solucionando a equação, temos
Dessa forma, nossa função intercepta o eixo em
Passo 4
Simetria
Vamos fazer para verificar a simetria:
Logo, percebemos que a função não é par e nem ímpar.
Assim, não há simetria!!
Passo 5
Assíntotas
O gráfico não possui assíntotas Verticais, pois para nenhum valor temos (como foi falado anteriormente, o sempre vai deixar qualquer número positivo... impossibilitando o denominador ser zero).
O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando o limite não existe.
Então vamos ver se tem alguma assíntota oblíqua resolvendo o seguinte limite:
Então a reta é uma assíntota oblíqua.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos:
Como , para , então está decrescendo em e . Desde que seja continuo em .
Então está crescendo nos Reais.
Passo 7
Valores de máximo e mínimo locais
Não há valores extremos, veja:
Essa solução é impossível nos Reais.
Passo 8
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
Dessa forma, como para e , e para , então possui concavidade para cima em e concavidade para baixo em e (
Possui três pontos de inflexão:
Passo 9
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva
Resposta
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