Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua.

y = 2 x 3 + x 2 + 1 x 2 + 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar o gráfico da seguinte função:

y = 2 x 3 + x 2 + 1 x 2 + 1

Para isso, iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro:

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida para todos os números pertencentes aos Reais pois não há restrição no denominador (qualquer valor de x será sempre positivo quando elevado ao quadrado)

Passo 3

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = 1 .

Nossa função intercepta o eixo x em f x = 0 , portanto:

2 x 3 + x 2 + 1 x 2 + 1 = 0

2 x 3 + x 2 + 1 = 0

x + 1 2 x 2 - x + 1 = 0

Solucionando a equação, temos

x = - 1

Dessa forma, nossa função intercepta o eixo x em x = - 1

Passo 4

( C ) Simetria

Vamos fazer y = f - x para verificar a simetria:

f - x = 2 - x 3 + - x 2 + 1 - x 2 + 1 = - 2 x 3 + x + 1 x 2 + 1

Logo, percebemos que a função não é par e nem ímpar.

Assim, não há simetria!!

Passo 5

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas Verticais, pois para nenhum valor x temos y → ∞ (como foi falado anteriormente, o x 2 sempre vai deixar qualquer número positivo... impossibilitando o denominador ser zero).

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x → ± ∞ o limite não existe.

Então vamos ver se tem alguma assíntota oblíqua resolvendo o seguinte limite:

lim x → ± ∞ f x = - 2 x + 1 =   ⁡ l i m x → ± ∞ - 2 x x 2 + 1 = l i m x → ± ∞ - 2 / x 1 + 1 / x 2 = 0

Então a reta y = 2 x = 1 é uma assíntota oblíqua.

Passo 6

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos:

f ' x = 2 + x 2 + 1 - 2 - - 2 x 2 x x 2 + 1 2

f ' x = 2 x 4 + 2 x 2 + 1 - 2 x 2 - 2 + 4 x 2 x 2 + 1 2

f ' x = 2 x 4 + 6 x 2 x 2 + 1 2

f ' x = 2 x 2 ( x 2 + 3 ) x 2 + 1 2

Como f ' x > 0 , para x ≠ 0 , então f está decrescendo em - ∞ , 0 e 0 , ∞ . Desde que f seja continuo em 0 .

Então f está crescendo nos Reais.

Passo 7

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

Não há valores extremos, veja:

f ' x = 2 x 2 ( x 2 + 3 ) x 2 + 1 2 = 0

2 x 2 x 2 + 3 = 0

x 2 + 3 = 0

x 2 = - 3

Essa solução é impossível nos Reais.

Passo 8

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = ( x 2 + 1 ) 2 8 x 3 + 12 x - 2 x 4 + 6 x 2 2 x 2 + 2 2 x x 2 + 1 2 2

f ' ' x = 4 x ( - x 2 + 3 ) x 2 + 1 3

Dessa forma, como f ' ' x > 0 para x <   - 3 e 0 < x < 3 , e f ' ' x < 0 para - 3 < x < 0   e   x > 3 , então f possui concavidade para cima em - ∞ ,   - 3   e   ( 0 ,   3 ) e concavidade para baixo em - 3 ,   0 e ( 3 ,   0 ) .

Possui três pontos de inflexão: 0 ,   1 .   - 3 , 3 2 3 + 1 ≈ - 1,73 ,   - 1,60 ,   e   3 , 3 2 3 + 1 ≈ 1,73 ,   3,60 .

Passo 9

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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