Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x (x + 2)^3

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Teremos que achar as raízes, interseções com eixos, analisar intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e limites no infinito.

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D_f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para encontrar a interseção com o eixo y , basta fazer x = 0 , assim y = 0 : a curva intercecta o eixo das ordenas na origem. Para achar as raízes da função:

x (x + 2)^3 = 0

Assim, as raízes são x = 0 e x = - 2 . As interseções com os eixos são (0,0) e ( - 2,0 ) .

Passo 4

Como f (- x) != +- f ( x ) , a função não par nem ímpar.

Passo 5

Como é um polinômio, y não tem assíntotas. Além disso, como o maior expoente é 4 que é par:

underset(x -> - oo)(lim) x (x + 2)^3 = + oo

underset(x -> oo)(lim) x (x + 2)^3 = + oo

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar y :

y^' = 1 * (x + 2)^3 + x * 3 (x + 2)^2 = (x + 2)^2 (x + 2 + 3 x) = 2 (x + 2)^2 ( 2 x + 1 )

Como (x + 2)^2 >= 0 , segue que:

Assim, x = - 2 é um ponto crítico que não é extremo local e x = - 1 // 2 é ponto de mínimo local. Temos que f (- 1 // 2) = - 27 // 16 .

Mínimo local: ( - 1 // 2 , - 27 // 16 ) .

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y^(' ') = 4 (x + 2) (2 x + 1) + 2 (x + 2)^2 * 2 = 4 (x + 2) (2 x + 1 + x + 2) = 12 (x + 2) ( x + 1 )

Assim,

Como f (- 1) = - 1 e f (- 2) = 0 os pontos ( - 1 , - 1 ) e ( - 2,0 ) são pontos de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos criticos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.34. 2 x 2 - 3 x 4 3