Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (x)/((x - 1)^2)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x - 1 != 0 . Assim, x != 1 .

Desta forma, o domínio da função é:

D_f = R - { 1 }

Passo 3

Para a interseção com o eixo y , fazemos x = 0 , de modo que

y = (0)/(1) = 0

Assim, a curva corta o eixo das ordenadas em ( 0,0 ) .

Já para a interseção com eixo x , fazemos y = 0 => x = 0 .

Assim, a única interseção com eixos ocorre na origem.

Passo 4

Vamos ver se a função é par ou ímpar.

Trocando x por - x :

f (- x) = (- x)/((- x - 1)^2) = (- x)/((x + 1)^2) = - (x)/((x + 1)^2) != +- f ( x )

Assim, a função não é nem par nem ímpar e não apresenta nenhum tipo de simetria.

Passo 5

Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para x indo para +- oo :

underset(x -> - oo)(lim) (x)/((x - 1)^2) = underset(x -> + oo)(lim) (x)/((x - 1)^2) = 0

Assim, tanto para - oo como para + oo , o eixo x é assíntota horizontal da função.

Como x = 1 não está no domínio da função, vamos ver se a função tem assíntota vertical nele. Fazendo os limites laterais:

underset(x -> 1^-)(lim) (x)/((x - 1)^2) = (1)/(0^+) = + oo

underset(x -> 1^+)(lim) (x)/((x - 1)^2) = (1)/(0^+) = + oo

Desta forma, a reta x = 1 é assíntota vertical.

Passo 6

Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:

y^' = (1 * (x - 1)^2 - x * 2 ( x - 1 ))/((x - 1)^4) = (x - 1 - 2 x)/((x - 1)^3) = - (x + 1)/((x - 1)^3)

Assim, y^' = 0 apenas em x = - 1 (que será um ponto crítico). Os intervalos de crescimento serão

Assim, o ponto (- 1 , - (1)/(4)) é ponto de mínimo local.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y^(' ') = - (1 * (x - 1)^3 - (x + 1) * 3 (x - 1)^2)/((x - 1)^6) = - (x - 1 - 3 x - 3)/((x - 1)^4) = (2 ( x - 2 ))/((x - 1)^4)

Como (x - 1)^4 > 0 , apenas o denominador vai importar para o sinal de y ' ' :

O ponto ( 2,2 ) é ponto de inflexão.

Passo 8

Com essas informações, temos o seguinte esboço da nossa curva:

Resposta

O esboço da curva:

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