Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 10
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Bora lá!! 😉
Passo 2
Como o denominador não pode se anular, devemos ter . Assim, .
Desta forma, o domínio da função é:
Passo 3
Para a interseção com o eixo , fazemos , de modo que
Assim, a curva corta o eixo das ordenadas em .
Já para a interseção com eixo , fazemos .
Assim, a única interseção com eixos ocorre na origem.
Passo 4
Vamos ver se a função é par ou ímpar.
Trocando por :
Assim, a função não é nem par nem ímpar e não apresenta nenhum tipo de simetria.
Passo 5
Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para indo para :
Assim, tanto para como para , o eixo é assíntota horizontal da função.
Como não está no domínio da função, vamos ver se a função tem assíntota vertical nele. Fazendo os limites laterais:
Desta forma, a reta é assíntota vertical.
Passo 6
Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:
Assim, apenas em (que será um ponto crítico). Os intervalos de crescimento serão
Assim, o ponto é ponto de mínimo local.
Passo 7
Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:
Como , apenas o denominador vai importar para o sinal de :
O ponto é ponto de inflexão.
Passo 8
Com essas informações, temos o seguinte esboço da nossa curva:
Resposta
O esboço da curva: