Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (x^2)/(x^2 + 3)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x^2 + 3 != 0 . Assim,

D_f = R

Passo 3

A única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem ( 0,0 ) .

Passo 4

Note que a função é par:

f (- x) = ((- x)^2)/((- x)^2 + 3) = (x^2)/(x^2 + 3) = f ( x )

Portanto, ela apresenta simetria com relação ao eixo y .

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:

underset(x -> - oo)(lim) (x^2)/(x^2 + 3) = underset(x -> + oo)(lim) (x^2)/(x^2 + 3) = 1

Assim, tanto para - oo como para + oo , a reta y = 1 é assíntota horizontal da função.

Como o domínio da função é real, ela não tem assíntotas verticais.

Passo 6

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar a função:

y^' = (2 x * (x^2 + 3) - x^2 * 2 x)/((x^2 + 3)^2) = (6 x)/((x^2 + 3)^2)

O sinal de y ' será:

Assim, o ponto ( 0,0 ) é ponto de mínimo local.

Passo 7

No estudo da concavidade, precisamos de y ' ' :

y^(' ') = (6 * (x^2 + 3)^2 - 6 x * 2 (x^2 + 3) * 2 x)/((x^2 + 3)^4) = (6 (x^2 + 3) - 24 x^2)/((x^2 + 3)^3)

Assim,

y^(' ') = - (18 ( x^2 - 1 ))/((x^2 + 3)^3)

Assim, o sinal de y ' ' será:

Os pontos (- 1 , (1)/(4)) e (1 , (1)/(4)) são pontos de inflexão em que a concavidade da curva muda.

Resposta

O esboço da curva:

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