Enunciado

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico?

f x = ln ⁡ x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer aqui é desenhar o gráfico da nossa função exponencial f x = l n ⁡ ( x ) . Ele é desse jeito aqui:

Passo 2

Nosso próximo passo vai ser desenhar algumas retas tangentes no gráfico da função logarítmica para ter uma ideia do que esperar do gráfico de sua derivada. A próxima imagem mostra algumas dessas retas, saca só:

Já podemos tirar algumas conclusões de como f ' ( x ) vai se comportar – a primeira é que, pelo visto, as retas tangentes à f ( x ) sempre vão ser crescentes, então a função vai ser sempre positiva, entendeu?

Outra conclusão é que, a medida que caminhamos no gráfico para a direita no eixo x , essas retas tangentes vão ficando menos inclinadas, ou seja, o valor da derivada vai diminuindo. Por outro lado, se a x for um número beeem pequenininho, f ' ( x ) vai ser muito alto, aumentando mais e mais a medida que x tende à zero.

Passo 3

Já podemos esboçar o gráfico de f ' ( x ) com base no que n que descobrimos! Vamos pensar: Quando x cresce muito, f ' ( x ) decresce muito. Quando x é bem pequeno, f ' ( x ) será bem grande. Pelo visto, f ' ( x ) e x são grandezas inversamente proporcionais, logo, podemos arriscar esse gráfico aqui como esboço:

Como f ' x diminui quando x aumenta, podems sugerir que a função derivada é a função recíproca, ou seja, f ' x = 1 x .

Resposta

O esboço de f ' ( x ) vai ficar dessa forma:

E a expressão que podemos sugerir para essa derivada é f ' x = 1 x .

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