Enunciado

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico?

f x = e x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer aqui é desenhar o gráfico da nossa função exponencial f x = e x . Ele é desse jeito aqui:

Esse gráfico é um daqueles que tem que ta na cabeça como é o gráfico o tempo todo, fechou? Vai ajudar que só isso nas próximas lições de cálculo, então fica a dica!

Passo 2

Nosso próximo passo vai ser desenhar algumas retas tangentes no gráfico da exponencial para ter uma ideia do que esperar do gráfico de sua derivada. A próxima imagem mostra algumas dessas retas, saca só:

Já podemos tirar algumas conclusões de como f ' ( x ) vai se comportar – a primeira é que, pelo visto, as retas tangentes à f ( x ) sempre vão ser crescentes, então a função vai ser sempre positiva!

Outra conclusão é que, a medida que caminhamos no gráfico da exponencial para a direita no eixo x , essas retas tangentes vão ficando mais e mais inclinadas, ou seja, o valor da derivada aumenta cada vez mais!

Passo 3

Outra coisa que dá para fazer é estimar quem é a derivada no ponto x = 0 , que vai ser a inclinação da reta tangente no mesmo ponto. Para estimar a inclinação da reta, primeiro a gente vai fazer um triângulo na nossa figura, dá uma olhada:

Podemos estimar o valor da inclinação m por essa fórmula aqui:

m = ∆ y ∆ x

Onde ∆ y vai coincidir com a altura do nosso triângulo e ∆ x com a largura. Bom, parece que a largura dele é de aproximadamente 1 unidade e a altura é de 1 , logo:

m = 1 1 = 1

Ou seja: a nossa derivada vai valer 1 quando x = 0 . Beleza! Sabemos então que o gráfico de f ' ( x ) vai ter o ponto 0 ,   1 !

Passo 4

Com o que descobrimos dá para ter uma ideia já de como vai ficar o gráfico de f ' ( x ) . Recapiulando o que descobrimos, sabemos que a nossa derivada só tem valores positivos para qualquer intervalo de x e, conforme x cresce, os valores da derivada vão subindo mais e mais. Além disso, estimamos que o nosso gráfico passa pelo ponto ( 0 ,   1 ) . Juntando tudo isso, nosso esboço vai ficar assim:

Olha aí nosso f ' ( x ) que coisa linda! Mas pera lá: ele ta igualzinho ao nosso f ( x ) ! Se eles tão iguais, de cara podemos sugerir que o gráfico de f ' x = e x , concorda? E é isso mesmo: a derivada da exponencial é ninguém mais e ninguém menos que a própria exponencial! Bem louco né? XD

Resposta

O esboço de f ' ( x ) vai ficar dessa forma:

E a expressão que podemos sugerir para essa derivada é f ' x = e x .

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